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Claro es que si fuera posible clasificar todas las funciones 9, 

 que por otra parte son en número infinito, y formar una tabla 

 de dos columnas, poniendo en la primera dichas funciones » 

 y en la segunda sus derivadas primeras, obtenidas como an- 

 tes indicábamos, la integración de cualquier término de la se- 

 gunda columna sería inmediata, porque no habría más que ver 

 á qué término de la primera correspondía. 



Pero como esto es imposible y sería pueril empeñarse en 

 demostrarlo, resulta que la enorme dificultad del problema es 

 ya punto axiomático en la Ciencia. 



Existen muchos métodos particulares para casos particula- 

 res, como antes dijimos, y sobre ellos no hemos de insistir, 

 porque están expuestos en todos los tratados de Cálculo in- 

 tegral. 



En cambio, las teorías generales son escasas y no están bas- 

 tante difundidas en la enseñanza. A dichas teorías generales 

 se referirán particularmente estas notas. 



Trataremos en ellas sucesivamente: 



1.° De la teoría del factor que hace integrable la ecuación 

 diferencial, ó llamémosle factor de integrabilidad. 



2° De las transformaciones infinitesimales. 



3.° De los grupos de transformación, teoría enlazada con 

 la precedente. 



4.° De los trabajos de Painlevé para el caso en que la in- 

 tegral general es una función analítica uniforme ó de un nú- 

 mero finito de determinaciones. 



II 



Empecemos por el factor de integrabilidad. 

 Supongamos que la ecuación diferencial 



dx 

 se presentase bajo la forma inmediata que antes obtuvimos 



