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En efecto: siendo (a^-^ + 6^)^, el módulo de ct^^ {k es par) se 

 tendrá 



le k Te 



(«.2 4_ 62) 2 _ (a. + b V^)^ («¿ - ¿ V^)^ = 



a^ (a, - 26 V^)^= (^¿'- 2^- 6 V^;^= 

 a >• - ;;; ¿ V^ . a/'-' - .^ÍÍZHÜ ¿2 ,. .fe-2 ... 



Este áltimo desarrollo nos indicn «lue si á los eleoaentos de 

 la horizontal de exponente k se le suman algebraicamente los 

 productos de los elementos homólogos de horizontales anterio- 

 res por cantidades determinadas (las mismas para cada hori- 

 zontal), obtendremos los respectivos módulos. Como ya se sabe 

 que estas transformaciones de líneas no cambian el determi- 

 nante, el teorema quedará demostrado. 



Para probar los teoremas de Chasles, supongamos un siste- 

 ma de 71 puntos, A^, A^, ... -4„, en línea recta; 7i es impar, 

 y O un punto exterior á dicha recta. Escojamos dos ejes, OX 

 y OY, paralelo el primero y perpendicular el segundo á la 

 recta A^A^^. Consideraremos á los puntos A como afijos de 

 cantidades complejas con la misma parte imaginaria; es decir ^ 



que Al es el afijo de a¿ = a¿ -|~ ^ V — !• Llamo h la distancia 

 del punto O á la recta A-^ A^. 



Observaremos que a^ — a^, es el segmento Ap A^. 



Substituyamos en la igualdad (I) los elementos de la última 

 horizontal de la matriz por sus módulos, lo cual sabemos ya 

 que puede hacerse por ser n — 1 número par; desarrollando 

 por los elementos de la última horizontal, tendremos: 



S(_l)"+'0^¿ 



n-l 



«;-i «t+i 



„_2 n-2 „ . n-2 



a/' ^a 



i-l ^t+l 



-^2^3 "^2 -^4- -^2 ^^i 



n-2 



'^-^-n-l-^n 



Expresando los complementos en función de las diferencias, 



Eev. Acad. Ciencias.— i.— Julio, 1904. 17 



