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las tres igualdades (5) definen respectivamente una translación, 

 una inversión simétrica que tenga por polo el origen O de 

 coordenadas, y una nueva traslación. 



II. Si el polígono A, B, C ... L, fuera armónico, podría 

 escogerse la traslación x' = z -\- tj, de tal suerte, que el centro 

 W de inversión viniera á coincidir con el origen O. La inver- 

 sión simétrica z" ^' = e, transformará el polígono A B ... L en 

 uno A^B^ ... L^ regular. (El segundo centro W, después de 

 las dos transformaciones anteriores, se convierte en el centro 

 del polígono regular A^ B^ ... Li^ puesto que conserva su 

 papel respecto á dicho polígono). Por ultimo, la traslación 

 Z= [x -}- ^" puede conducir el centro del polígono A^B^ ... L^ 

 á O. 



Así, la substitución (2), eligiendo convenientemente los pa- 

 rámetros 3 , 6, y, 8, transforma el polígono A, B^ ... L, cuando 

 éste es armónico, en uno regular A, B, ... L, teniendo por 

 centro el origen de coordenadas. Sabido es que los vértices de 

 este polígono regular están definidos por una ecuación bi- 

 nomia 



Z"=p ó Z" = p''(cos.e4-ísen. 0), 



que tiene por raíces los valores deducidos de la fórmula 

 Z = p (^cos. ^ + i sen. ^ j, 



en la cual k recibe los valores 0^ 1> 2, 3 ... n — 1. 



III. Consideremos la ecuación (1) cuyo primer miembro 

 designaremos por f{x) y cuyos puntos raíces formen un polí- 

 gono armónico. 



Supongamos que la transformación lineal 



fi 



la reduzca á la binomia Aq Z^ -\- An = 0. La ecuación (1) 

 debe entonces ser idéntica á la 



