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Progression nacli irgend einem Quotienten |) bilden, welcher der 

 W i n d u n g s q u 1 i e n t genannt wird. 



Bezeichnen wir also die Windungsabstände allgemein mit h, und den 

 Winkel, welchen der zu irgend einem Windungsabstand gehörige grössere 

 Radius mit dem ersten Radiusa bildet, mit v^ so können wir die suc- 

 cessiven singulodistanten Windungsa])stände von a aus folgendermaassen 

 ausdrücken : 



für V = . 2 7f wird h ==-- a 



,, V = 1 . 2 /f ,, h = ap 



,, -y = 2 . 2 7r ,, Jt= ap'^ 



,, ^' = 3 . 2 n ,, h = ap"' 



,, V ^= (m-l)2 rr ,, A == «j)'" ' 



Der Radius r, welcher irgend einem (z. B. dem wten) Windungabstande 

 zukommt, ist nun offenbar nichts anderes als das summatorische Glied 

 der geometrischen Reihe, welche die sämmtlichen bis dahin auf einander 

 folgenden Windungsabstände bilden; folglich wird 



p — 1 ^ ^ 



Dieses ist mithin die Gleichung der Concho Spirale*). 



Die meisten Spiralen der Conchylien sind solche einfache Concho- 

 spiralen, bei denen die Windungsabstände durch einen und denselben 

 Windungsquotienten beherrscht werden. So lange man auf einer Con- 

 choidalfläche sich in einer Spirale fortbewegt, deren Horizontalprojection 

 eine einfache Conchospirale ist, verbleibt man auf der Oberfläche eines 

 geraden Kreiskegels, dessen Axe mit der Axe der Conchoidalfläche zu- 

 sammenfällt (Grab au). 



Bei der Schwierigkeit, in jedem Falle den Anfangspunkt der Concho- 

 spirale mit Sicherheit aufzufinden und danach den Parameter festzustellen, 

 sei bemerkt, dass Naumann auch Formeln angiebt, um den letzteren 

 aus zwei oder mehr singulodistanten Radien oder Durchmessern zu be- 

 stimmen u. dergi. mehr. 



In vielen Fällen bleibt der Windungscoefficient p nicht constant, 

 sondern er nimmt plötzlich einen anderen Wertli^>' an, später wohl wieder 

 einen anderen Werth j/' etc. Dann entstehen die Diplo- und die Triplo- 

 spirale etc. Ist bei der Diplospirale der Quotient ^Z >j), so heisst sie 

 exosthen; ist p' <Cp, heisst sie endosthen. Bei der exosthenen Diplo- 



^^; (i ruh an setzt dafür (als damife identisch) dio (iloicliuiii;- 



r = ae"'<f -\-k , 



wobei unter r und </' Radius vector und Anomalie ebener Polarcoordinaten verstanden, 

 durch e die iJasis der natürlichen Lop^aritiiinen und dundi (t , m und /,• willkürliehe, aber 

 reale Constaiitcu bezeichnet worden. 



