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punkte, auf welchen die seitlichen Sprossungen hervortreten, ergiebt 

 dann weiter, dass dieselben sich im jugendlichen Zustande als mehr 

 oder weniger „ähnliche" Körper zeigen, welche dicht aneinander 

 liegen, während auch hier die Uebereinstimmung in der gegensei- 

 tigen Stellung besteht. Nun ist in der Natur eine solche Anordnung 

 niemals v^ollkommen genau realisirt und weil die Anzahl seitlicher 

 Organe auch notwendig eine beschränkte ist, so kann die überein- 

 stimmende Lage in Bezug zuj„al]en anderen Organen" auch niemals 

 bestehen. Das verhindert jedoch nicht, dass ein Studium von Figu- 

 ren, welche eine solche Anordnung mathematisch genau verwirklicht 

 aufweisen für die ßlattstellungslehre von grosser Bedeutung sein muss. 



Der erste Teil der vorliegenden Arbeit enthält nun auch eine 

 rein mathematische Betrachtung von dergleichen Konstruktionen. 

 Obwohl die Ableitungen möglichst elementar gehalten sind, waren 

 dabei mehrere mathematische Entwickelungen nicht zu vermeiden; 

 es sind jedoch die Hauptresultate dieses Teils in einer Rekapitula- 

 tion zusammengefasst und dieser ist Folgendes entnommen. 



Es sind an erster Stelle die Eigenschaften von Punktsj'-stemen 

 auf einer Kreiszylinderfiäche. einer Ebene und einer Kreiskegel- 

 fläche, studiert worden, welche S3^steme derart sind, dass die Strah- 

 lenbüschel, welche man erhält, indem man verschiedene Punkte 

 des Systems mit allen anderen verbindet, entweder kongruent (für 

 die Kreiszylinderfiäche) oder ähnlich (für die Ebene und Kreiskegel- 

 fläche) sind. Dabei wurden die Fälle, worin unter den Strahlen- 

 büscheln kongruente oder ähnliche „Spiegelbilder" angetroffen wer- 

 den, nicht in Betracht gezogen. 



Die Haupteigenschaften solcher Punktsysteme, welche „regel- 

 mässige" (auf einer Kreisz3'linderfläche) i) und „ähnliche" (auf einer 

 Ebene oder auf einer Kreiskegelfläche) genannt wurden, sind diese, 

 dass darin unendliche Reihen von Punkten auf Schraubenlinien 

 (Kteiszylinderfläche), logarithmischen Spiralen (Ebene) oder Kegel- 

 loxodromen (Kegelfläche) liegen. Die logarithmischen Spiralen haben 

 alle dasselbe Zentrum, die Kegelloxodrome laufen alle nach unend- 

 lich vielen Umgängen in dem Kegelscheitel zusammen. Die drei 

 genannten Arten von Kurven wurden gemäss der botanischen Aus- 

 drucksweise unter dem gemeinschaftlichen Namen „Spiralen" zusam- 

 mengefasst. 



Die Punktsysteme Hessen sich in zwei Arten einteilen. Bei der 

 ersten Art konnten alle Punkte auf einer einzigen Spirale aufgenom- 

 men werden, solche Systeme sind „einfache" genannt. Die Punkte 

 können in diesem Fall von einem bestimmten Punkt aus, die Haupt- 

 spirale entlang, durchlaufend nummeriert werden; sie zeigen eine 

 konstante Divergenz. Bei der zweiten Art Sj^steme ist eine solche 

 einzelne Spirale unmöglich, solche S3^steme wurden „mehrfache" 

 genannt. 



Von allen möglichen Punktsystemen sind solche für die weitere 

 Betrachtung ausgewählt, um deren Punkte sich auf der Fläche be- 



1) Herrn Prof. Dr. Fred. Schuh dankt der Autor die Bemerkung, dass unter 

 den in dieser Weise ganz allgemein definierten „regelmässigen Punktsystemen auf einer 

 Kreiszylinderfiäche" auch noch solche vorkommen, welche er nicht berücksichtigt hat. 

 Die Verallgemeinerung, welche er auf p. 9 sub. 2 seiner Betrachtungen gegeben hat, 

 ist nämlich nicht erlaubt. Diese neue Art Punktsysteme kann als „regelmässige zweiter 

 Art" von den betrachteten unterschieden werden. Wo in diesem Referat von regel- 

 mässigen Punktsysteme die Rede ist, werden nur solche „erster Art" gemeint, die- 

 jenigen zweiter Art haben für die Kreiskonstruktionen und für die weiteren Betrach- 

 tungen keine Bedeutung. 



