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stimmte Kreiskonstruktionen ausführen lassen. Dabei muss bemerkt 

 werden, dass hier unter Kreisen auf einer Kreiscylinderfläche und 

 einer Kegelfiäche „Raumkurven" verstanden sind, die derart sind, 

 dass sie nach dem Abrollen auf einer Ebene wirkliche Kreise dar- 

 stellen. In den genannten Kreissystemen wurden die Kreise entwe- 

 der alle gleich gross (für die Kreiscylinderfläche) oder derart ange- 

 nommen, dass ihre Radien sich verhielten wie die Leitstrahlen vom 

 Zentrum (für die Ebene) oder vom Scheitel (für die Kreiskegelfläche) 

 aus nach den Mittelpunkten gezogen. Die Punktsysteme wurden nun 

 derart gewählt, dass jeder Kreis von vier oder sechs anderen tan- 

 giert wurde, aber so, dass kein Schneiden von Kreisen im S5^stem 

 auftrat. Solche Kreiskonstruktionen , welche als „regelmässige" (auf 

 einer Kreiscylinderfläche) und „ähnliche" (auf einer Ebene und auf 

 einer Kreiskegelfläche) „Sj^steme tangierender Kreise" angedeutet 

 sind, zeigen sehr übereinstimmende Eigenschaften. 



Nehmen wir an, das Punktsystem, um dessen Punkte die Kreis- 

 konstruktion ausgeführt wurde, sei ein einfaches und der Kreis um 

 dem Punkt o berühre die Kreise um die Punkte m und n (also 

 auch diejenige um die Punkte — m und — n), so sind alle Kreismit- 

 telpunkte auf zwei Systemen von m und n „Kontaktspiralen" zu 

 ordnen, und das System kann angedeutet werden als ein solches 

 mit dem zweizähligen Kontakt m und n. Der relative Kreisdurch- 

 messer aller Kreise eines bestimmten Systems ist konstant und es 

 besteht für einen bestimmten Kontakt m und n eine Beziehung 

 zwischen diesem relativen Kreisdurchmesser und der Divergenz 

 des Punktsystems. Die graphische Darstellung dieser Beziehung 

 für verschiedene Werte von m und n ist nun im Allgemeinen so- 

 wohl für die Kreiss5^steme auf der Kreiscylinderfläche als für solche 

 auf der Ebene und der Kreiskegelfläche „praktisch" dieselbe. Nur 

 für Systeme mit den Kontakten und 1, 1 und 1, 1 und 2, zeigen 

 sich für die drei genannten Fälle bemerkenswerte Verschieden- 

 heiten. 



Die Kreiskonstruktionen auf der Kreiskegelfläche sind nur als 

 Projektionszeichnung darzustellen. Wählt man dazu die Projektion 

 auf einer Ebene, die senkrecht auf der Kegelachse steht, so geht 

 das ähnliche Punktsystem auf der Kegelfläche über in ein solches 

 auf einer Ebene. Die Kreise auf der Kegelfläche werden dann aber 

 dargestellt durch geschlossenen Kurven, welche den Namen „Folioi- 

 den" erhalten haben. Das Kreissystem wird also dann dargestellt 

 durch ein System „ähnlicher tangierender Folioiden". Die Gestalt 

 der Folioide wird bestimmt durch den Wert des Scheitelwinkels der 

 Kegelfläche, aber auch durch den relativen Durchmesser des Krei- 

 ses; sie kann also sehr verschieden sein und eine sichelartige Ge- 

 stalt zeigen oder sich mehr einem Kreis nähern, sie kann stark ge- 

 bogen sein oder nur ganz wenig. Die ähnlichen Systeme tangierender 

 Kreise auf einer Ebene sind ein besonderer Fall der Folioiden- 

 systeme. 



Die Beziehung zwischen dem (konstanten) relativen Durch- 

 messer der Folioiden eines Systems (d. h. das Verhältnis des Win- 

 kels, unter welchem man vom Zentrum aus die Folioide sieht, zu 

 360°) und die Divergenz, wird für verschiedene Kontakte m und n 

 wieder „praktisch" durch die oben genannte graphische Darstellung 

 wiedergegeben, und zwar gilt dies ungeachtet des Wertes, welchen 

 der Scheitelwinkel der Kegelfläche besitzt. Nur für die kontakte 

 und 1, 1 und 1, 1 und 2, zeigen sich Verschiedenheiten für ver- 

 schiedene Scheitelwinkel. Aus dieser graphischen Darstellung lassen 



