GEOMETRIC INVESTIGATIONS ON DYNAMICS. 303 



Now, expanding the second summation in (41'), we get the fol- 

 lowing 48 terms: 



dF 



dp 



\/dJ^dfi_dPidfi\^dF\/dP,dfi_dP2dfi 



1 \ 5v du du dv J dp-i \ dv du du dv 

 ,dJ\/dP,dfi_ d_Psdf^\ ^dF\/dPidfi _ d_PidJi 

 dps \dv du du dv J dpi\dv du du dv 

 dF2 fdP2 ^_dl\df2\ dF2 fdP, df2_dPs ^ 

 dp2 \ dv du du dv J dpz \ dv du du dv 

 djj fdPidfi _dPidf2\ dF2 fdP, a/2 _ aPi ^2' 



dpi \ dv du du dv J dpi \ dv du du dv 



dFz/d_P3df,_dP,df^\_^ dFj/dPidfs_d_Pidfj 



dp3\dv du du dv J dpi\dv du du dv 



m fd_Pi df,_dPidfs\ dj, /dPidfz^ dP,df, 



dpi \ dv du du dv J dp-i \ dv du du dv 



dji /dPidfi _dPidfi\ dfi fdPidfi_ dPidfi 



dpi \ dv du du dv J dpi \ dv du du dv 



dfi /dPo dfi dP. dfi\ dfi /dPs dfi _ d P, a/A 



dp2 \ dv du du dv) dpjz \ dv du du dv J 



{u -+»-•» lo). 



We may reduce the number of terms by eliminating the multipliers of 



dFi dFo dFi dFi „, ,,.•., ^, xE • ^ e^^i i 



Thus to elimmate the coefficient ot , we solve 



2 



dPo a/3 



du dv 



d_P2dfi 



du dv 



dv du du dv 



