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(F) /car alors la fcule cxtradion dcs niciiics dc5 Jcux cgalitcs 

 ionnc'es, Tunc par Ic nunicratciir cgalc a zero, I'aiiiic par le 

 dcuoiniiiatcur auHi cgalc a zero, tloniic les valours dcs (1) 

 & des (u), qui etant liicccffivenicnt fubflituccs dans I'equa- 

 tion dc la coiirhc, ioiit coniicftirc li la courbc a ou n'a pas 

 dc poiiUs doubles. Par cxempic, on dcmandc fi la courbc, 

 tlont la nature eft exprimcc par Icquation ?/* — ib'u — -xhi^ 

 -Hji^j'^^o, a dcs points doubles. Aprcs avoir dIfFcrcntic 

 i't'quation, on a -^^ z=z~i^-—^ : d'ou Ton tire les 



deux <?galitcs fuivantes ^' — lizrzio, & //' — hiizzizo; Les 



racijics de la premiere egalite font ^nrzo & iz^b, aufcjuelies 



correfJ)ondcnl les racines wn^o & wzzr-4-/^de la 2'''^cgalitc'. 



Or, i.° 2=0 & wnzio ctant fubftiiues dans Icquation 



propofce ti^ — zL'u' 2. b i^ -{- -^ h !i 17^:=: o , tons les 



U-rmes s'cJvanoiiiffent : cc qui fait voir que la courbe propofc'c 

 a un point double a Toriginc ile Um axe. 2.° Si ron lubftitue 

 dans cette niemc equation, au lieu dc (i) & de (11), Ici valeurs 

 irz=.h 8c ii^=zizb, tous les ternies s'c'vanoiiillcnt encore; 

 D'ou il fuit que cettc courbc a deux autres points doubles, dc 

 part & dautre de Ton axe, diflants de cet axe de la gnindcur 

 u=z^b, & cela fur unc lignc droite paraliele aux ordon- 

 nees, diftante dc I'originedes abfciHesdc la grandeur ;;:=:i, 



PROPOSITION VI 11 



P R O B L E M E. 



XCIV. Les points d'interfedlion d'tine lignc du ^'"' ordre , 

 doiit on a l equation, etant donne's, determiner fi ce point d'in~ 

 tcrfcdion c(i un point double de la premiere, de lafeconde, ou de 

 la troifieine cfpece. 



Solution. 



Solt la courbc AIGDGARCRm* . dont EP eft I'xxc; * Fig. 44^. 

 Ix rapport Acs abfcifles EP aux ordonne'es/'yl^ ctant donnc 

 par unc Equation algebrique quclconquc du quatric'nie dcgrc,. 



