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 eföl IS - 45 \^.\ \~:\ \^,\ H- 40 \^A = 



IdxM dx5 



ulSl föl - 



|dx4 



40 isr = 



(4) 



[dy^J Idysf jdy'-^f {dy^J {dy^} ^ '" jdy^J 



eine Differentialgleichung der Flächen des 2. Grades ist. Sie sind 

 aber nicht die einfachsten. Differtiirt man nünilich (3) in Beziehung 

 auf X und auf y, und setzt, wie gewöhnlich 



[dz] [dz 



'dxl = "' dv = 1' 



so erhält man 



Ax-hbz-f-cyH-«H-(CzH-ay-|-bx-h7)p = 1 

 By4-az+cx-t-/^-h(Cz+ay+bx-|-yjq =r j '^"'^ 

 Verfährt man mit diesen Gleichungen auf dieselbe Weise und setzt 



idx-^/ - ^' Idxdyj - '' \df\ - ^ 

 so erhält man 



Ax-|-2bi)H-Ci)2+(Cz-hay-|-bx-t-j/)r = 

 CH-apH-bq-|-Cpq+(Cz-}-ay+bx-|-y)s = l (6) 

 BH-2aqH-Cq2H-(CzH-ay-t-bx-|-y)t = 



Difterentiirt man endlich die erste dieser 3 Gleichungen in Be- 

 ziehung auf X, die zweite in Beziehung auf x und auf y, und die 

 dritte auf y, und setzt 



(dx^i -"' idxMyJ ^' Idxdy^J-"^ ' ldy=^J ~ ^^' 

 so erhält man 



3(b+Cp)v-f-(Cz-|-ayH-bxH-7) u = 

 (a+Cq)r-h2(bH-Cpjs-j-(Cz-f-ay+bx-|-jO v = 

 (aH-Cq)s-h2(b-f-Cp)t-|-(Cz-|-aq-|-bx-f-7j v^ = 

 3(aH-Cq)tH-(Cz-f-ay-|-bx-|-y) w = 0. 

 Aus je dreien dieser 4 Gleichungen lassen sich mm die beiden 

 Quotienten 



a+Cq b-j-Cp 



Cz-t-ayH-bx+y ' Cz-|-ay-hbx-hy 



eliminiren und so erhält man die neuen Differentialgleichun- 

 gen der Flächen des zweiten Grades 



2stu— 3rtv-hr2w = Ol .„. 



2rsw— 3rtv-f-t% = op'^ 

 welche, da sie vom 3. Grade, die Gleichung (4) aber vom fünften 

 Grade sind, diesen im Allgemeinen vorgezogen werden müssen, nnd 

 da man leicht übersieht, dass eine Differentialgleichung von einem 

 niedrigeren Grade als dem dritten die gegenwärtige Frage nicht 

 auflösen kann, so sind sie die einfachsten, welche in diesem Falle 

 zu erhalten sind. 



Um zwei leichte Beispiele von der Anwendung dieser Formeln 

 zu geben, wollen wir zuerst untersuchen, ob es abwickelbare 



