ZEUTHEN, ANTALGEOMETPJENS ANVENDELSE. 1(33 



kurve af 3:dje Orden er af 3:dje Klasse. De omvendte Saet- 

 ninger faas ved Dualitetsprincipet. 



5. For at bevise den dobbelte Frembringelse af en Flade 

 af anden Orden behover man blot at benytte den antalgeo- 

 metriske Opfattelse af en Tangentplan i et Punkt P af en 

 Flade. Enhver Linie i denne Plan og gjennem P skal skjgere 

 Fladen i to saminenfaldende Punkter, altsaa ogsaa skjaere 

 Skjgeringskurven i to sammenfaldende Punkter. Skjserings- 

 kurven faar altsaa P til Dobbeltpunkt med reelle eller ima- 

 ginsere Grene, eftersom Fladen i P bar hyperbolsk eller 

 elliptisk Krumning. Der er saaledes 2 reelle eller imaginasre 

 Tangenter i P til denne Skjgeringskurve, og disse, som kal- 

 des Hovedtangenterne i P, skjgere Fladen i 3 sammenfal- 

 dende Punkter. Er nu Fladen af anden Orden. maa de belt 

 ligge paa denne. Gjennem hvert Punkt af en Flade af anden 

 Orden gaar der altsaa 2 reelle eller imagiuEere retliniede Frem- 

 bringere. Fremdeles ses det, at to saadanne, som skjaere bin- 

 anden, i Almindeligbed ikke kunne skjsere en og samme 

 tredje, da Fladen saa enten vilde skjseres af en Plan i 3 

 rette Linier, bvilket er umuligt, eller have et konisk Dobbelt- 

 punkt, hvilket kun kan blive Tilfseldet, naar den er en Kegle- 

 llade. Derimod maa en Frembringer altid skjtere en af to 

 Frembringere, som skjaere hinanden, da den skjserer deres 

 Plan. Idet endelig de to Frembringere, hvori en Tangent- 

 plan skjaerer en reel Flade, enten begge ere reelle eller begs^e 

 imaginsere, ses det, at en Flade af anden Orden enten bar 

 hitter reelle eller lutter imaginaere Frembringere. 



At omvendt det geometriske vSted for en ret Linie, der 

 glider paa 3 rette Linier, altid er en Flade af anden Orden, 

 ses ved at lasgge et plant Snit gjennem en af Ledelinierne. 

 Dette vil nemlig vsere sammensat af denne Ledelinie og en 

 Frembringer, altsaa va^rc af anden Orden. 



fi. Gjennem Skja^ringskurven mellem 2 Flader af anden 

 Orden y = og i^ = gaar der som bekjendt uendelig mange 

 Flader af anden Orden, nemlig Fladebundtet cp -\- hip ^= 0. 

 Derved finder man, at der gjennem ethvcrt Punkt P af Rum- 

 met gaar 2 Dobbeltsekantcr til Uumkurven, nemlig de 2 Frem- 

 bringere i don Flade. som gaar igjenncm P, og ikke Here. 



