216 SUR LES SOLUTIONS SlNGULlfeRES 



s'exprimant au moyen des m— 1 premieres, de la 

 fonction et de la variable. 



Si, maintenant, on indique, au moyen de l'indice 

 zero, ce que deviennent les expressions u, v, w, ... 

 quand on y change x en x et, par suite, y,y',y" ... 

 y[*n— *l en y , yj , y " ... y i m — *), on de"duira de ce 

 qui precede : 



(e) y M=u„, y M-i)=v , y ("'4-2)=w , etc. 



et Ton en conclura que la fonction y peut s'e"crire : 



if) 2/=y«+ —f 1 y.'-»- tjj** !/ "-+-... 



(x — x ) m ~ i (x— x ) m 



1.2...m— 1 * 1.2.. .m 



(a;— x ) m + 1 (or— # ) ra 4-2 



+ 7^ —l y *+ hi —Tn w «+ » etc - 



1.2 ... to-M 1.2... m-)-2 



Reste a savoir quelles valeurs il faut y donner a 

 y» t yJ, y " ... y„(»»— *). 



3. Or, on peut demontrer que ces valeurs sonl com- 

 plement arbitraires , c'est-a-dire que la valeur de y 

 de la fonnule (f) resout l'equation diffe"rentielle pro- 

 posed , quelqu'hypothese que Ton fasse sur y , y ' , 



y , ... y v '• 



En effet, si Ton diffe'rentie m fois de suite les deux 

 membres de (f) , on obtient : 



3! — *Eq l***" - ~**-o) 



y('")— u„4 — v„+ v . w 4-, etc. 



Continuant a effectuer les differentiations et fai- 



