216 SLR LES SOLUTIONS SJNGULIERES 



h. Ainsi , il semble qu'on soit en droit de conclure 

 dece qui precede, que toutes les solutions de l'equation 

 (a) sont renfermges dans la formule ( f) et qu'il suffit , 

 pour les obtenir, de donner a y , y,' , y " ,.. y ( m — *) 

 tous les systemes possibles de valeurs. 



Nous allons voir pourtant que , pour certaines solu- 

 tions de l'equation differentielle, les egalites 



yl"»-f-l)=V, y{ m +-2)z=w , etc. 



peuvent 6tre defectueuses ; en sorte que, pour ces 

 solutions, la formule (f) obtenue au moyen des ega- 

 lites precedentes, peut ne pas se trouver verifie"e. 



5. En effet, supposons que u renferme une fonction 

 <f de x, y, y\ y" ... y(»«— *}; d'apres ce qui a ete vu 

 plus haut sur la forme de v, il y devra entrer une partie 

 pouvant s'ecrire 



dv dy 



df ' dx ' 



d'u 

 oil — est la derivee totale de y par rapport a x pris 



explicitement et implicitement. Cette partie doit etre 

 eonsid6r6e comme la limite de 



Am A« , am 



— . — ou de — , 



Ay Ax Ax 



la caractenstique a representant des accroissements 

 que Ton suppose nuls a la limite , et am l'accroisse- 

 ineut de u , lorsqu'on y accroit x de ax dans « et non 

 ailleurs. 

 Mais , pour cela , il est essentiel que <? ne soit pas 



