220 SUR LES SOLUTIONS SINGULIERES 



C'estceque Ton voit plus clairement encore en sommant 

 laseYie, ce qui donne 



t 



y=:r4-[V ""-Ml-a)*] 1- ". 



Ainsi , dans ce cas , y=x est une solution singu- 

 liere. 



II. Prooode pour la determination des solutions 



singuli£res des Equations differentielles 



d'ordre quelconque. 



9. II importe d'abord d'eHablir certaines proprieles 

 geometriquesdes solutions singulieres. Si 1'onconsidere 

 la fonction y comme reprgseutant l'ordonnee d'une 

 courbe plane dont x est l'abcisse , l'intggrale g6nerale 

 de l'Squaiion differentielle repr6sente alors une ligne 

 L ayant m parametres arbitraires, ou, si Ton veut, une 

 infinite de lignes l ne differant les unes des autres que 

 par les valeurs de ces parametres. De ce que ces pa- 

 rametres sont en nombre m et distincts , il en requite 

 d'ailleurs qu'il existe toujours une ligne l telle que , 

 pour x=x , y, y' ,y", ... y{m—\) prennent les valeurs 

 yo, y ' , y ", ... yJ- m ~ *>, quelles que soient ces va- 

 leurs. 



Quant aux solutions singulieres, elles representent 

 des lignes a distinctes des lignes l. 



10. Soit considere un point M de la ligne A ; il passe 

 toujours en ce point une ligne l; et , quelles que soient 

 pour la ligne a, en ce point m , les valeurs de y', y n 

 .... y\ m — 1 ), il y passe toujours une ligne l pour laquelle 



