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ces derniers elements sonl les memes. Par consequent, 

 en vertu de l'equation differentielle , on peut affirmer 

 que la valeur de j/W y sera la meme pour la ligne a 

 et pour la ligne particuliere l que Ton considere. Ainsi, 

 en chacun de ses points, la ligne singuliere a a un 

 contact de l'ordre m avec une ligne t. 



Cette propri^te distingue la ligne A de toute autre , 

 qui, en chacun de ses points, ne peut avoir avec une 

 ligne l qu'un contact de l'ordre m — 1 au plus. 



11. Comme cas parliculiers, on en conclut que les 

 solutions singulieres des Equations differentielles du 

 premier ordre represented des lignes touchant en 

 chacun de leurs points une ligne l; et que les solutions 

 singulieres des Equations differentielles du second ordre 

 reprgsentent des lignes ayant en chacun de leurs points 

 le meme cercle osculateur avec une ligne l. 



12. Ce qui precede etant etabli, nous allons pouvoir 

 deduire de l'integrale g6nerale toutes les solutions sin- 

 gulieres de l'equation differentielle. 



Soit en effet ij—f{x, c x , c a , ... c,„) cette integrate 

 generale. Pour qu'elle represente la ligne particuliere 

 L qui a un contact de l'ordre m avec la ligne A au point 

 m , il faut donner aux constantes des valeurs particu- 

 lieres qui dependent de la position particuliere du point 

 M sur la ligne a, c'est-a-dire qui sont des fonctions de 

 Yx du point M. Soit u t) a s , ... u m ces valeurs fonctions 

 d'x; si on les substitue dans l'integrale generate, on a 

 la relation 



y=-F(x, w, , w, , ... a.„) 



qui represente la ligne l quand on n'y lait p;is varier 



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