218 SLR LES S0LITI0NS SINGULIERES 



les formules (c), (d) sont exactes, et par consequent 

 aussi la formule (f). 



Or , rappelons que les m constantes arbitrages sont 

 dites distinctes lorsqu'on peut les determiner de maniere 

 a faire prendre a y ,y,', y "> ••• y° {m — i] des valeurs 

 arbitraires, quelle que soit d'ailleurs la valeur que Ton 

 ait choisie pour x . Si done on pouvait avoir 



?(*, y, y',y",... y(™- l ))=o, 



il en resulterait , pour x=x , 



?(*., y ,yo',y a ", ... y a l™-' l ))=o, 



quelles que fussent les quantites x , y , y ' . y " . 

 ... y ( m— 1 >; ce qui est impossible , puisque y n'est pas 

 suppose" identiquement nul independamment de toute 

 valeur attribute a la fonction y et a ses derivees. 



On conclut de ce qui precede que la formule (f) 

 renferme toutes les solutions de la proposed, oil il entre 

 m constantes arbitraires distinctes. C'est la valeur ge- 

 nerate de y fournie par cette formule (f) , que Ton 

 designe sous le nora Ci'integrale generate de 1' equation 

 difterentielle. 



7. Mais cette equation differentielle peut comporter 

 en outre d'autres solutions, ne se deduisant pas de 

 1'integrale generate par un choix convenable des con- 

 stantes, ne renfermant pas m constantes arbitraires 

 distinctes , et satisfaisant a des equations differentielles 

 de l'ordie tn — 1 au plus, oil il n' entre pas de constantes 

 arbitraires. Ces solutions sont dites des solutions singu- 

 lieres , et Ton voit qu'elles ont pour caractere de ne 

 point verifier le syslenie 



