226 SUR LES SOLUTIONS SINGULIERES 



et , pour que ce plan soit vertical , il faut qu'on ait, ou 



u- dF (iF ,rfr, , flfF d¥ 



bien — nul, sans que — et — le soient ; ou bien — et — 



dz , dx dy dx dy 



infinis, sans que ~r le soit. Dans ces deux cas, le plan 



tangent e"tant vertical , la projection horizontale du 

 point M appartient a la ligne A, representation geome"- 

 trique de la solution singuliere. 



II en resulte que, si d'une part on elimine z entre les 

 equations 



rfF 



f=o, — =o; 

 dz 



si, de l'autre, on elimine z entre les Equations 



dv 



dx 



dt 



— devenant inflni lui-meme, chacune des equations 



dy 



finales obtenues represente une partie de la ligne A ; 



c'est-a-dire que chacune d'elles constitue une solution 



singuliere, et il n'y en a pas d'autres. 



On peut d'ailleurs , avant 1'eliminatiou , retablir c a 

 la place de z, ce qui ramene la resolution du problerae 

 a des enonces connus. 



Une discussion permettra d'ecarter les solutions 

 etrangeres que la marche merae du calcul peut in- 

 troduce. 



On voit, par ce qui precede, que la counaissauce 

 de l'integrale generale conduit toujours a la solution 

 singuliere. Mais, on va voir que cette connaissance 

 n'est pas indispensable et que Ton peut deduire ira- 



