SEKTIONEN FOE MATHEMATIK OG ASTEONOMI. 345 



fast Kurvepunkt 0, simplest et Vendepunkt. Bestemmelsens 

 Egenskaber udledes af den hypothetisk antagne Ligning 



Uj -f u 2 + u 3 = (1) 



mellem Beliggenhedstallene u x u 2 u 3 for tre Punkter, der 

 ligge ud i ret Linie. 



For at prove denne Antagelses Mulighed betragter 

 man forst de reelle Punkter af Kurven, der antages reel. 

 Heri viser det sig, at man ved en altid konvergent Proces 

 kan finde et (enkelt periodisk) Bestemmelsestal for ethvert 

 (reelt) Kurvepunkt og omvendt. Ved denne Konstruktion 

 benytter man sig af specielle Tilf?elde af (1), der da bag- 

 efter maa bevises i sin Almindelighed. 



Fra Gruppen af reelle Punkter gaaer man ved en 

 imaginser (i Almindelighed ikke algebraisk) Transformation 

 over til en anden Gruppe af Punkter, der tillsegges rent 

 imagingere Beliggenhedstal. 



Det Tal, der svarer til et vilkaarligt Punkt af Kurven, 

 faaes derefter ved Addition af to Tal, af hvilke det ene 

 er reelt, det andet rent imaginsert. 



Til Slutning har man endelig at bevise: 



1) at Bestemmelsen er entydig (paa Perioder nser) og 

 kontinuert (indenfor et Periodeparallelogram). 



2) at (1) er almengyldig over hele Kurven. 



Det vil derefter vsere let at angive de ssedvanlige 

 elementsere Egenskaber ved de elliptiske Funktioner, idet 

 Overgang til den analytiske Fremstilling sker ved den 

 Bema3rkning, at 



lim — = const, 



naar u er Beliggenhedstal og x Abscissen til et Kurvepunkt 

 i det Koordinatsystem, hvor Vendetangenten er Abscisse- 

 axe og Vendepunktet B egyndelsespunkt. 



