PHYSICAS E NATUEAES 



SOBRE A ÁREA DOS POLÍGONOS REGULARES 



(Memoria apresentada á Academia Real das Sciencias de Lisboa) 



POR 



ANTÓNIO CABREIRA 



Sócio correspondente da Academia Real das Sciencias de Lisboa 



da Academia das Sciencias, Inscripções e Hellas Leftras de Toulouse 



da Academia das Sciencias, Artes e Bellas Lettras de Dijon 



do Instituto de Coimbra 



da Sociedade Jiathematica de França 



e da Sociedade Pbysico-Mafhematica de Kazan 



1. A área do hexágono regular inscripto, no circulo, é egual ao 

 dobro da área do triangulo equilátero inscripto. 



Supponhamos que ABC representa o triangulo equilátero inscri- 

 pto no circulo de raio A O. Dividindo, ao meio, os arcos A B, B C e 

 A C, obtemos os pontos D, E e F que, ligados aos vértices do trian- 

 gulo, dão os lados do hexágono regular inscripto, AD, BD, BE, CE, 

 CF e AF. Ora a área do hexágono é egual á do triangulo dado mais 

 o triplo da área do triangulo ABD^ a qual é egual á do triangulo 

 BCE e ainda á do triangulo A CF. Mas o triangulo ^i?Cpodese 

 considerar composto dos triângulos eguaes ABO, AC O e BC O; o, 

 como AD é egual a, AO, por ser o lado do hexágono, e, ainda pela 

 mesma razão, BD é egual ao B O, attendendo, além d'isso, a que AB 

 é um lado commum aos triângulos ABD e AB O, conclue-se a egual- 

 dade d'estes dois triângulos. 



Fazendo idêntico raciocínio, em relação aos triângulos B CE e 

 BC O, A CF e AC O, fica demonstrado o theorema. 



2. O triplo da área do quadrado inscripto é egual ao dobro do 

 quadrado do lado do triangulo equilátero inscripto. 



Considerando AB, A D e AE como lados do dodecagono regu- 



