4 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



14. A subnormal á espiral hinomia do primeiro grau é egual d 

 subnormal á espiral parabólica de primeira ordem porque de r'^^ — 0, 

 tira- se 



^ = ^''.=- = '5. (12^ 



do -K ^ ■ 



15. A ãifferença entre os quadrados das normaes á espiral binomia 

 do primeiro grau e á espiral parabólica de primeira ordem é egual á 

 dij^erença entre os quadrados dos vectores respectivos das duas curvas. 



Designando por ^ e iV^' as normaes consideradas, temos, em vir- 

 tude da subnormal ser commum, 



JV2 — i^'2^r2 — r'2 (13j 



16. A mesma differença é egual ao producto do valor inicial da 

 vector pela somma do mesmo valor com o dobro do vector da espiral pa- 

 rabólica de primeira ordem. 



r2_r'2 = (^A9 + ^^y_||Aey_^^(,,^_{_2rO. . . . (14) 



17. ^ differença entre a subtangente d espiral binomia do primeiro 

 grau e a subtangente d espiral parabólica de primeira ordem é egual d 

 relação entre a differença dos quadrados das normaes dquellas curvas e 

 a subnormal. 



Subtrahindo S't=-—- de S, = -—, fica, attendendo a (13), 



-r2 Í./2 ATS JV'2 



^,-S\=-^- = ^^^ (lõ) 



18. A subtangente d espiral parabólica de primeira ordem tende 

 para a subtangente d espiral binomia do primeiro grau, d medida que 

 o angulo polar augmenta. 



Dividindo a segunda das formulas estabelecidas no numero ante- 

 rior pela primeira, vem 



(16) 



relação que tende para a unidade, á medida que augmenta. 



19. A differença entre os quadrados das tangentes d espiral bino- 

 mia do primeiro grau e d espiral parabólica de primeira ordem ê egual 

 ao producto da differença entre as subtangentes respectivas pela relação 



