PHYSICAS E NATURAES 



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,/. E. — Journal de Mathématiques Elementaires, de De Long- 

 champs. 



J. E. V. — Journal de Mathématiques Elementaires, de Vuibert. 

 N. C. M. — Nouvelle Correspondance Mathématique, de Catalan. 

 P. M. — Philosophical Magazine. 

 N. A. — Nouvelles Annales de Mathématiques. 



Começaremos por estabelecer pelos determinantes duas relações 

 conhecidas. 



1. Projectando sobre cada lado os outro dois, teremos as três 

 equações homogéneas do primeiro grau 



— a -|- ocos C+ccos^-^O 

 aços C — h-\- ecos ^^0 

 aços B-\-b cos A — c = 



(1) 



Estas equações devendo ser compativeis, deve ser nullo o deter- 

 minante formado pelos coefficientes das incógnitas a, 6, c. Teremos 

 pois 



— 1 cos C cosB 



cos C — 1 cos A ^0 



cos-B cosJL — 1 



Desenvolvendo este determinante pela regra de Sarrus, vem 



cos^A-\- cos2 5 + cos2C+2cos ^ cos 5 cos C — 1=0. 



Esta egualdade dá-nos a relação entre os cosenos dos três ângu- 

 los de um triangulo. 



Pode obter-se de outra forma esta relação. Com eíFeito, como se 

 sabe 



cosC-f cos(^ + 5) = 

 e portanto 



cos C= sen A senB — cos A cos B 

 ou 



cos- C= sen^ A sen^ B -\- cos'^ A cos^ B — 2 sen A sen B cos A cos B 



e ainda, como é 



senM = l — cosM sen2^ = l — cos^^ 

 C082 A + cos2 B + cos2 C= 1 -j- 2 COS ^ COS 5 cos {A + B) 



