172 



JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATIOAS 



CALCULO DO VOLUME 



DE UM SEGMENTO ESPHERICO, INDEPENDENTEMENTE DO CONHECIMENTO 



DO VOLUME DOS CORPOS ESPHERICOS 



POH 



R. GUIMARÃES 



A 



E 



-.13 



f 



Seja BD EF um segmento de circulo de altura EF^h e per- 

 tencente a um circulo de raio A C=^R. 



Este segmento circular por um movimento 

 de rotação em torno de ^ C gera um segmento 

 espherico em que BE=r e DF = r' são os 

 raios das duas bases. 



Supponhamos EF dividido em m partes 

 eguaes e levantemos pelos pontos de divisão per- 

 pendiculares a. E F, até encontrarem o arco B D. 

 Construindo a serie de rectângulos que a fi- 

 gura indica, teremos que os cylindros gerados 

 pela rotação das figuras em torno do eixo A C, 

 tem por limite (admittindo que o numero de par- 

 ■^ -^ tes eguaes em que foi dividido ^i^augmenta in- 



definidamente) o volume do segmento espherico. 

 Ora, designando por h' a altura AE àa calote espherica, gerada 

 pelo prolongamento AB ào arco B D, quando este gira em torno de 

 EF, e por v^^ Vo, V3,... v^, os volumes e por r,^ i\, r^,. . . r^, os 

 raios das bases dos cylindros gerados como acabamos de referir, te- 

 mos para um cylindro qualquer, o correspondente á divisão (p), por 

 «xemplo, de EF, 



'(pj 



(. + ^)[2^-(. + M^)] (1) 



= h' + 



= 2Rh'-\-2Rh'-^ — h'^ — 2hh'- 



(P) 



m 



A2. 



rp/ 



m" 



