PHTSICAS E NATUEAES 93 



SOBRE ALGUMAS APPLICAÇÕES DO THEOREMA DE TINSEAD 



POR 



ANTÓNIO CABREIRA 



Sócio correspondente da Academia Beal das Scienciai de Lisboa 



I 



1. Projectando um circulo sobre três planos rectangulares, entre 

 si, obtemos três ellipses. 



2. A área do dodecagono regular inscripto, no circulo dado, é egual 

 ao triplo da somma dos quadrados dos semi-eixos menores das ellipses. 



Representando, respectivamente, por a,2, «ia? *'i2 g s"í^ as áreas 

 dos dodecagonos regular e semi-regulares inscriptos, temos, pelo theo- 

 rema de Tinseau, 



2 -2 _, ,2 j^ „2 



«12 *12 ~| * 12 ~T" * 12' 



Mas, nas nossas memorias Sobre a área dos polygonos regulares 

 e Sobre a área dos polygonos semi-regidares, demonstrámos que 



cti2 — ^3 e Sjj = Í3 o V o, s 12 = '3 o V á, • • • j 

 logo 



a,, = S(b' + b" + b'") (1) 



3. O quadrado do raio do circido é egual á somma dos quadrados 

 dos semi-eixos menores das ellipses. 



Substituindo, em (1), a^^ por 3r^, fica 



r' = ô-^ + b'^ 4- è'" (2) 



4. Consideremos agora o circulo fazendo ângulos eguaes com os 

 três planos. 



