PHYSICAS E NATURAES 103 



Approximando (34) de (35), deduz-se 



A' + A" = 47:a,= á::l] (36) 



57. Admittamos ainda a hypothese de três círculos máximos, 

 sendo um de cada esphera, fazerem ângulos eguaes com os três pla- 

 nos, realisando-se ainda a condição de os semi-eixos menores das suas 

 projecções representarem, também, os semi-eixos menores das projec- 

 ções de um circulo máximo de qualquer outra esphera. 



58. O proãiicto da somma das áreas das três espheras dadas pelo 

 raio da quarta é egual a nove vezes o volume doesta esphera. 



De facto, de (31) tira-se 



9F=(^' + ^"-{-^"')r (37) 



59. O volume de um cylindro, que tem como hase o circulo de raio 

 egual ao lado do triangulo equilátero inscripto, num dos eirados máxi- 

 mos de uma esphera, e como altura o quádruplo do raio, representa nove 

 vezes o volume d' essa esphera. 



Approximando (33) de (37), resulta 



9V=4:rT:ll (38) 



60. O volume da quarta esphera referida é egual ao producto do 

 terço do raio pela somma das relações entre os volumes das três esphe- 

 ras dadas e os respectivos raios. 



A formula (21) pode representar-se também por 



F==-í-^''(^^ + ^'^ + ^"^)- 

 Ora 



F' = 4ir62r„ V"^4cnb'^r, e V"' = 4:'r:b"^r^; 



logo 



r /V V" F"\ 



^=T(;r+i7+T) í^") 



61. Supponhamos que os semi-eixos menores das projecções de 

 dois circulos máximos, sendo um de cada esphera, círculos que fazem 

 ângulos eguaes com dois dos planos e são perpendiculares ao terceiro, 

 representam também os semi-eixos menores das projecções de um cir- 

 culo máximo de qualquer outra esphera. 



62. O producto da somma das áreas das duas espheras dadas pdo 

 raio da terceira é egual a seis vezes o volume d'esta esphera. 



Effectivamente, de (34) conclue-se 



6F=(A'-f il")r (40) 



