100 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



ângulos eguaes com três planos perpendiculares, entre si, representam 

 também as projecções de qualquer outra ellipse. 



44. O producto do semi-eixo maior d'esta ellipse pelo lado do trian- 

 gulo equilátero inscripto, no circulo de raio egual ao seu semi-eixo me- 

 nor ^ é egual á raiz quadrada da somma dos quadrados dos productos 

 dos semi-eixos d'aquellas três ellipses. 



Sejam «i e 6,, ag e 5-2, ag e Ò3, a e è os semi-eixos das quatro 

 ellipses consideradas e a' e h' , a" e h", e a'" e V" os semi-eixos das 

 respectivas projecções. 



Da condição do enunciado, resulta 



IJ^I. ."-1"! ^11 h" -^ ^ ^lllllll 



a' O' = — ■ — , a 



b" = ^L^ e a'"b'" = 



^V v/3 v/3' 



por consequência 



3 [(a' h'f + (a" hy -f (a'" h"'f] = {a, h,f + [a, h,)^ + {a, h,)\ 



d'onde, em virtude de (7), 



ah\/l = al'^ = \/{a,h,f-r{a.^h^'^ + {a^h,f (28) 



45. Admittamos que as projecções de duas ellipses, que fazem 

 ângulos eguaes com dois dos planos e sao perpendiculares ao terceiro, 

 representam também as projecções de qualquer outra ellipse, perpen- 

 dicular áquelle mesmo plano. 



46. O producto do semi-eixo maior d' esta ellipse pelo lado do qua- 

 drado inscripto, no circulo de raio egual ao seu semi-eixo menor, é egual 

 á raiz quadrada da somma dos quadrados dos productos dos semi eixos 

 daquellas duas ellipses. 



De _ 



a'b'=a,h. — e a"ò" = a^b» — , 



conclue-se 



2 [(a' ÒT' + (a" 6")2] = (a, b,)^ + (a, b,)'^ = 2 {a bf ; 

 logo 



ab\/2 = al\ = v/(aj b,f -j- (a^ \f (29) 



47. Supponhamos que as ellipses, segundo as quaes se projectam 

 duas ellipses, cujos eixos menores fiquem perpendiculares a um dos 

 planos e dispostas de modo que as suas projecções, sobre um dos ou- 

 tros planos, sejam circulos de raio egual aos seus semi-eixos menores, 

 representam também as ellipses, segundo as quaes se projecta outra 

 qualquer ellipse, disposta de modo que a sua projecção, sobre um dos 

 planos, seja ainda um circulo de raio egual ao seu semi-eixo menor. 



