94 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



5. A área do dodecagono regular inscripto, no circulo dado, é 

 egual ao triplo da área do dodecagono regular inscripto, no circulo, 

 cujo raio representa o semi- eixo menor das ellipses. 



A consideração do n." 4 importa a egualdade das ellipses. Por- 

 tanto, fazendo, em (l), b = h' = b", resulta 



ai2 = 3 • 3 ò' ou «12'= 3 a'i2 (3) 



6. O quadrado do raio do circulo dado é egual á área do dodeca- 

 gono regular inscripto, no circulo, cujo raio representa o semi-eixo me- 

 nor das ellipses. 



EíFeçtivamente, egual raciocínio a respeito da formula (2) nos con- 

 duz a 



r- = 3ò^ ou r2 = a'i2 (4) 



7. Imaginemos, em seguida, o circulo dado n'uma posição tal que 

 faça ângulos eguaes com dois dos planos, ficando perpendicular ao ter- 

 terceiro. 



8. A área do dodecagono regular inscripto, no circulo dado, é egual 

 ao triplo da área do quadrado inscripto, no circulo, cujo raio representa 

 o semi-eixo menor das ellipses. 



A consideração do numerq anterior dá logar a b = b' e 6" = 0; 

 logo 



a^2 = 3»25^ ou ai2 = 3a'4 (5) 



9. O quadrado do raio do circulo dado é egual á área do quadrado 

 inscripto, no circido, cujo raio representa o semi-eixo menor das ellipses. 



Fazendo, em (2), b^:=b' e 6" = O, fica 



r^ = 2ò^ = a', (6) 



10. O producto dos semi-eixos de uma ellipse é egual á raiz qua- 

 drada da somma dos quadrados dos productos dos semi-eixos das suas 

 p>rojecçdes, sobre três planos rectangulares, entre si. 



Eífectivamente, do tlieorema de Tinseau, conclue-se, immediata- 

 mente, 



ab = \/{a'b'f-^[a"b"f-]-{a"'b">f (7) 



11. Admittamos a hjpothese de a ellipse fazer ângulos eguaes 

 com os três planos. 



12. O producto dos semi-eixos da ellipse dada é egual ao producto 

 do semi-eixo maior das suas projecções pelo lado do triangido equilátero 

 inscripto, no circulo, cujo raio representa o semi-eixo menor d'essas pro- 

 jecções. 



