176 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



Sendo p o semi-perimetro dos parallelogrammos isoperimetros a 

 respeito de d„, temos, em consequência do n." 1, 



p=l„J^x = 



dn C?n_2 



OU 



K = -^id„-d„_,) (1) 



4. Construcção do lado de qualquer jiolygono regidar. 



Supponhamos que são dados ABC D, um dos parallelogrammos 

 isoperimetros a respeito da diagonal de ordem n, que desconhecemos 

 à priori, e, U V, diagonal de ordem n — 2. 



Tiremos a bisectriz do angulo AB C q ào vértice opposto D, bai- 

 xemos uma perpendicular áquella linha. Prolongando os lados AB q 

 B C, até encontrarem essa perpendicular, obtemos os pontos E e F. 



Em virtude d'esta construcção, o triangulo é isosceles e portanto EF 

 representa a diagonal de ordem n. 



Marcando sobre EF, a partir de £", uma grandeza egual a £/ F 

 e tirando, pelo outro extremo, uma parallela a BE, determinamos o 

 lado pedido, porque traçamos um trapézio isosceles em que os lados 

 parallelos sào as diagonaes de ordem n e n — 2. 



No caso particular de o parallelogrammo dado ser um dos isope- 

 rimetros a respeito do diâmetro do circulo circumscripto a um poly- 

 gono regular de um numero par de lados, então dispensamos o conhe- 

 cimento de qualquer outra diagonal. Eífectivaraente, desci'evendo uma 

 circumferencia com centro, no meio de EF e raio egual a metade 

 <i'esta grandeza, cortamos as linhas B E e BF em G e H. Ora E e F 

 são extremos dos dois lados ligados pelo diâmetro EF^ e, como BE 

 e BF definem as direcções dos mesmos lados, a grandeza d'este3 re- 

 presentar-se por E G ou. FH. 



Õ. Formula geral da área de qualquer polygono regidar. 



Construamos a bisectriz do angulo formado pelos apothemas re- 

 lativos a dois lados do polygono, ligados pela diagonal de ordem n. 

 Prolongando esses lados até intersectarem a bisectriz, obtemos dois 

 triângulos rectângulos eguaes, que teem como cathetos o apothema e 

 a differença entre o semi-perimetro dos parallelogrammos isoperime- 

 tros a respeito de c?„ e a metade do lado. Tirando pelo ponto em que 

 um dos lados intersecta d„ uma parallela ao apothema e prolongando 

 aquella bisectriz, obtemos o segmento q, catheto de outro triangulo re- 

 ctângulo que é semelhante d'aquelles e que tem como segundo catheto 

 o semi-perimetro dos parallelogrammos isoperimetros a respeito da 

 mesma diagonal; logo 



