L u d wiff . Weiteres Uber Fibonaccicurven. 



1 - j 



Scheibenblüten : 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

 Frequenz: 23 12 11) 7 11 8 8 6 1 - 4 — 



Die Zahl 18 tritt über die Nebengipfel bei 13, 16, 21 als 

 Hauptgipfel hervor, man wird daher an dem Standort, von dem 

 die gezählten Exemplare der Schafgarbe stammten, die erwähnte 

 Verdoppelung des äusseren Kreises (5 Strahlen- und 5 Röhren- 

 blüten ausser den inneren 13 Rührenblüten) als Regel betrachten 

 dürfen; sollte sich der Nebengipfel bei 23 auch in der grossen 

 Zahl weiterer Beobachtungen erhalten, so würde man sogar die 

 gelegentliche Verdreifachung des äusseren Kreises annehmen 

 müssen (Köpfchen = 5 Strahlenblüten -4- 5 -f- 5 -4- 13 Röhren- 

 blüten). 



2. Johannes Kepler, U e b e r das Vorkommen der 

 Fibonacci reihe im Pflanzenreich. 



Die bei den Phanerogamen so häufig vertretenen Zahlen der 

 Reihe : 



(. ..+8, — 5, +3, — 2, +1, — 1, 0, 1) 

 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 .. . 



werden vielfach von Botanikern als Braun'sche, von Mathematikern 

 als Gerhardt 'sehe oder L a m e 'sehe Reihe bezeichnet. Es ist dies 

 entschieden falsch, da Leonardo von Pisa, genannt Fibona cci 

 (aus der Familie Bonacci), die wichtigsten Eigenschaften dieser 

 Reihe bereits im 13. Jahrhundert aufgefunden hat (vgl. S. Günther 

 in Kosmos. II. Bd. IV). S. Günther hat mich darauf auf- 

 merksam gemacht, dass Johannes Kepler wohl der erste ge- 

 wesen sein dürfte, der das Vorkommen dieser Reihe im Pflanzen- 

 reich hervorhob und die Bedeutung der in pflanzlichen Organen 

 so häufig auftretenden Fünfzahl als Glied der Fibonacci -Reihe 

 erkannte, wenn er auch die Ursache für das häufige Vorkommen 

 der Zahlen dieser Reihe nicht richtig erkannt hat. Die betreffende 

 Stelle findet sich in der Frisch 'sehen Ausgabe von Kepler's 

 Werken Vol. VII. p. 722—723 in einer Schrift, die betitelt ist: 

 „Joannis Kepleri S. C. Majest. Mathematici Strena seu de 

 Nive sexangula. Francofurti ad Moenum apud Godefridum Tambach. 

 Anno MDCXI." Nach Erörterungen über Gestalt der Bienenzellen 

 und die rhombendodecaedrische Gestalt der Granatäpfelkerne 

 (durch gegenseitigen Druck) wendet er sich dem Aufbau der 

 Blüten zu, deren Eigentümlichkeiten er als Ausfluss des Formen- 

 sinnes und Schönheitsgefühles der Pflanzenseele betrachtet. Die 

 betreffende Stelle lautet: „...Idem de malo punico intelligendum. 

 Apparet necessitas materialis, quae acinos perducit ad rhombicum, 

 succedentibus incrementis. Itaque vanum est, de essentia animae 

 in hac arbore cogitare, quae rhombicum potissimum efficiat. 



Contra si quaeratur, cur omnes adeo arbores et frutices (aut 

 certe pleraeque) tlorem explicent forma quinquagularis, numero 

 scilicet foliorum quinario, quem florem in pomis et pyris sequitur 

 fruetus dispositio, in eodem vel cognato numero, quinario vel 

 denario, quini intus loculi continendis seminibus, dena filamenta, 



