l4o NOTES. 



NOTE VI. 



Nous allons donner dans cette note la solution d'un probfènie 

 d'analyse qui peut avoir de nombreuses applications. Voici en quoi 

 if consiste. 



Problème. Etant données deux fonctions réelles de a , savoir , 

 F. [a] et F^{a), 

 trouver deux autres fonctions réelles de m , savoir , 



<p,{m) et <f,[m) , 

 telles que l'on ait, pour toutes les valeurs réelles et positives de a, 



/ , I f <P, \ni) . cos am dm = F, {a) i m = o 



I f ip. {m) . sin am dm = F^ [a) i '" = <x>. 



Solution. Admettons pour un instant que chacune des fonctions 



conserve une valeur finie pour toutes les valeurs réelles et positives 

 de a. If suffira, pour satisfaire aux équations (i) , de supposer 



!<P,[m)= ^fcosmix.F^i/x] d^, i /t = o 



<p^{m) ■= — f sin mfx . F, (/"■) d//.. 



En effet, si l'on substitue ces valeurs de <p,{m) et de ?j(/«) dans les 

 équations (i) , on obtiendra les suivantes : 



(3) 



// cos am . cos my. . F, (/j.) dm d/^ = jF, (a) , . ,„^^_ ^^^_^ ^ 

 ff sin am . sin mjx . F^ (/j.) dm dy.:= — F^ (a) . 



dont on peut démontrer l'exactitude ainsi qu'il suit. 



Les intégrales doubles, qui forment les premiers membres des 

 équations (3) , peuvent être évidemment considérées comme les li- 

 mites vers lesquelles tendent les deux intégrales 



... . // cos am cos mfx.e F, (^) dm d//. , ,^_o ,^—00^ 



' rr   — " "' r- r \ J J jm=o, m=CO. 



ff sin am sin mfj..e -/".(./"J "'" ".** ' 



