l46 NOTES. 



tellts que l'on ait pour toutes les valeurs réelles tt positives de a et de c , 



!ff (f^ [m, n) cas am.cos en dm dn ::= F^ { a , c ) , 

 f f <P. ( m ,n)cos am . sin en dm dn ■= F { a .c\ , i 

 ff(p{m,n)s\nam.coscndmdn = F(^a,c) ,("=0. «=00. 

 // î>^ ( /" , n ) sin am . sin en dmdn=^F [a ,c] . 



Solution. Si les quatre fonctions F,, F,, F,, F^ restent finies pour 

 toutes les valeurs positives des variables a et c , on résoudra le pro- 

 blème au moyen des quatre formules suivantes : 



(^) 



<P, {a,e)= — ffcosm/xcosnv.F^ (/j.,v)dfA.dv, 

 9i('^>0 = 3i//cosOT/x smnv.F^(fj., v] dfj.dv, 



^=0,/t = OO 



<P,{a,c)=: — ff sinm/j.cosnv.F^(/x,\i)d/xdv, ' °' ' ^' 

 P4(<'><") = ^// sinOT/x iin nv.F^(iu,v)dfx du . 



Ces formules sont analogues aux équations (2) de la note précé- 

 dente, et se démontrent de la même manière. Ainsi , par exemple , 

 pour faire voir que la première formule satisfait à la première des 

 équations ( i ) , il suffira de prouver que l'on a, entre les limites o et 

 00 de toutes les variables , 



(3) ////cosaw cosen cos m/j. cosnv.FXfj.,v) d/^ dv dm dnz=^ — F^ {a, e) 



4 



D'ailleurs , on peut considérer l'intégrale qui forme le premier 

 membre de cette dernière équation , comme la limite dont s'approche 

 l'intégrale suivante 



(4) ////( ~ "'" ~ ' " cos am .coscn .cosm/j..cosnv .F^(f/,,v) d/j. d\i dm dn , 



à mesure que ce et £ diminuent ; et comme on a, en vertu des équa- 

 tions (6) [note précédente], 



J~ cosam coim/x f— "" dm = ^ - 



fcoscn cos nv e'" dn = \ ca^(,_..j. . 



