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on pourra réduire rintégrale (4) à cette forme plus simple 

 ~ r r F { v^ "^ '^i" ^'^i' j ^= o , /ii = oo 



Cette dernière n'ayant de valeur sensible, lorsque cl et f deviennent 

 très-petits , qu'entre des limites de y. très-voisines de a et des limites 

 de V très - voisines de c, on peut, sans inconvénient, y remplacer 

 ^■(M' '') par F^[a, c), ce qui la réduit à 



et, comme, dans le cas où et et ê s'évanouissent, chacune des inté- 

 grales singulières 



J a--4-(^_„)' ' J f ^ H_ ( , _ < ) - 



est égale à 77, on trouve enfin pour l'intégrale cherchée 



ce qui vérifie l'équation (3) , et par suite la première des formules (2). 

 Il sera également facile de vérifier chacune des trois autres. 



Pour que les formules (2) puissent être employées , il est néces- 

 saire que les intégrales définies qui forment les seconds membres de ces 

 formules aient une valeur précise et finie. C'est ce qui arrive générale- 

 ment lorsque les fonctions F,{/j.,v), F,{/j,,v], F,{fji,,v), /'^(/*,v)'' 

 restent finies pour toutes les valeurs réelles et positives des variables 

 y. et V, et s'évanouissent pour des valeurs infinies de ces mêmes va- 

 riables. Si ces conditions n'étaient pas remplies , les intégrales dont 

 il s'agit pourraient devenir infinies ou indéterminées. Pour obvier 

 à cet inconvénient, il suffirait de remplacer les quatre fonctions 



par les quatre suivantes 



/W. F, (,^, v), M,_F,_:fjL,v), Af^F^ {f^,v), Al^F^{f^,v); 



M, , A^,, M^, Af^ étant de nouvelles fonctions de /x, de v et de la 

 constante arbitraire C, par le moyen desquelles les conditions énon- 

 cées puissent être satisfaites, et qui se réduisent à l'unité, lorsqu'on 

 suppose Ç=o. Au reste, on peut trouver pour ces nouveHes fonc- 



