Ija NOT£S. 



On pourra donc toujours faire coïncider fa valeur de i]„ déduite de 

 l'équation (2) avec celle que donne le développement en série obtenu 

 par la méthode des coefficiens indéterminés ; et comme ce dernier a 

 toute la généralité désirable, il en résulte que l'équation (2) est ef- 

 fectivement l'intégrale générale de la première des équations (i). 



Il est bon d'observer que chacune des fonctions f [m) , f[m), tient 

 effectivement la place de deux fonctions arbitraires. II en faut dire 

 autant des deux fonctions 



'"[/('")— /'("OJ; 



en sorte que les deux premiers membres des équations (4) renferment 

 quatre fonctions arbitraires. Mais ces quatre fonctions n'en sont 

 pas moins déterminées par les deux équations dont il s'agit [ voye-^ 

 la note précédente ] ; en sorte que les conclusions précédentes sub- 

 sistent, comme si les premiers membres des équations (4) renfer- 

 maient seulement deux fonctions arbitraires. 



Je passe maintenant à l'équation (3). Si l'on développe son second 

 membre en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de b , 

 et que l'on fasse , pour abréger , 



( 2 ff ces am CCS en [f{m , n) -\- f[m ,n)^clm dn z=. &[a , c) , 



( 2 ffcos am ces cri [f{m , n) — f{m,n) ] [m'-\'n')-dmdnz^3' ^ {"■:()■, 



on trouvera 



c'est îi-dire, précisément la valeur de q^ qu'on déduirait de l'équation 



d'Oa d^Oa J'ilo 



—^ H — ^ 1 — = O , 



Ja-- d6' Je' - ' 



par la méthode des coefficiens déterminés. Cette valeur sera la plus 

 générale possible, si les fonctions d''{a,c), <î?, (a,c) sont entière- 

 ment arbitraires ; et l'on voit d'ailleurs que rien dans l'équation (7) 

 ne restreint leur signification , puisqu'on peut leur donner une valeur 

 quelconque, et déterminer ensuite, au moyen des équations (6), les 

 fonctions 



f[m, n] -\- f[m, n] , 



[m- -^v^y^\_f[m, n) — f[m,n) ], 



