dm 



166 NOTES. 



se réduira simplement à 



, , ( Q='^fcosmx.f.{m,t)d 



( = S /cos jTix [ cos OT-^-/.ip [m] -+- sin m-g-t.^ [m)] dm . 



Ainsi les deux fonctions arbitraires Z{m), |(ot), disparaissent 

 complètement, et l'équation (50) se trouve réduite h la seconde des 

 équations (54) [II-' partie]. 



En vertu de ce qu'on a dit ci-dessus, la condition (10) entraîne 

 la suivante 



/« = ; { 



f I 2) 2 /cos mx . e "'J' / [m, t] d. 



d"où il suit que les fonctions arbitraires t,[m) , ?(w), doivent encore 

 disparaître de la valeur générale de g , et que cette valeur doit se 

 réduire à celle que fournit la première des équations (54)- 



En appliquant à la valeur générale de Q, déterminée par l'équa- 

 tion (73) [II.'' partie] , des raisoiniemens absolument semblables à ceux 

 qu'on vient de faire , on prouverait facilement que les deux fonctions 

 arbitraires |(w, n], (^{m, n] , doivent complètement disparaître du 

 calcul; ce qui réduit les valeurs générales de ^ et () à celles que 

 fournissent les équations [jC]. 



NOTE XIII. 



Je terminreai ces notes par une remarque qui sert à confirmer 

 la justesse de nos calculs. Si l'analyse que nous avons employée est 

 exacte, les diverses valeurs que nous avons trouvées pour Q doivent 

 satisfaire, dans le cas de deux dimensions, à l'équation 



et, dans le cas de trois dimensions, à l'équation suivante 



Par suite , l'ordonnée y de la surface et les vitesses U, V, W qui sont 

 respectivement proportionnelles à plusieurs coefficiens différentiels 

 partiels de la fonction Q , doivent aussi satisfaire aux deux équations 

 dont il s'agit. On doit avoir en conséquence 



, , 'i'y , -l'y 



^3)  J?~^ê 77'=°' 



