NOTES. lép 



tout-à-I'heure , pour établir rigoureusement l'équation (44) ''>- laquelfe 

 la valeur de <2 doit satisfaire, on ne saurait néanmoins élever aucun 

 doute raisonnable sur l'exactitude des valeurs de 9 et de Q que four- 

 nissent dans la troisième section [II.' partie] les formules (54) et 

 [76). Prenons en effet pour exemple la valeur de q donnée par la 

 première des formules ( 54) [H.' partie, section m ]. D'après ce qui 

 a été dit dans le Mémoire, aux pages 22, 60 et 62, il est clair, 

 i.° que cette valeur vérifie l'équation 



sans devenir infinie pour des valeurs infinies et négatives de y ; 

 2.° qu'elle rend identiques les deux expressions de la vitesse verti- 

 cale V, c'est-à-dire, en d'autres termes, qu'elle satisfait à l'équation 



ou, ce qui revient au même, à la suivante , 



dans le cas particulier où l'on suppose y =^ o. Ajoutons que les 

 fonctions arbitraires comprises dans la première des formules (54) 

 peuvent être déterminées par le moyen des valeurs initiales de y et 

 de y correspondantes à la surface du fluide. Or ces différens carac- 

 tères sont précisément ceux auxquels on doit reconnaître la va- 

 riable q, lorsque le fluide se réduit à deux dimensions, sa profon- 

 deur étant infinie. Donc le problème des ondes , qui n'a certainement 

 qu'une solution, se trouve résolu dans le cas de deux dimensions 

 par les formules ( 54)j dont la première entraîne la seconde, et par 

 celles qui s'en déduisent. Il est d'ailleurs facile de s'assurer que la 

 valeur de q, donnée par la première de ces formules, vérifie généra- 

 lement l'équation 



, , J^a , r d'-q d--q -[ 



laquelle se change, pour j/ =: o, dans l'équation (44) [II.' partie]. 

 Au lieu de prouver à posteriori que la valeur de q , ci-dessus men- 

 tionnée, remplit toutes les conditions requises, on pourrait, à l'aide 

 des principes établis dans le Mémoire, et sans recourir à l'équa- 

 tion (44) [II.' partie], déduire directement cette valeur de la for- 



I . Savarts éirangen. Y 



