lyo NOTES. 



mule (48). Effectivement, la formule (48) [II.° partie] étant admise, 

 l'équation (2) , qui doit être vérifiée pour y = o , se réduit à 



(4) G = S/cos mx I '^'■^j"'^' -^grxfi m,t}\dm \2Zl^_ 



On satisfait à cette dernière en supposant la fonction f[m,t) assu- 

 jettie à l'équation différentielle 



(5) °= j,^ -^gmf[m,t), 

 dont i'intégrale générale, présentée sous la forme 



_L -L — i. 



(6) /(«> ') = cos m-g-t.<p [m] -t- sin OTi^-/.4 (m ) , 

 conduit immédiatement à la première des équations ( $4) [ H/ partie]. 

 Il reste à faire voir que la formule (4) entraîne nécessairement la 

 formule ( 5 ) , au moins pour toutes les valeurs réelles et positives 

 de m. Or, si l'on pose, pour abréger, 



''■^J,:-'^ -^grnf[m,t) = y[m), 



les équations (4) et (5) deviendront respectivement 



(7) o = 2;_/"cos mx .y [m] dm 



(8) o=y{m). 



Ajoutons que, le second membre de l'équation (7) représentant une 

 expression de la forme 



f cos mx .-i, [m] dm -^f sin mx.y._[m] dm „, =03 



la formule (8) doit être censée renfermer deux équations, savoir, 



>.,(ot) = o , >,(/«) = o. 



On aura donc simplement à établir la proposition suivante. 



Théorème. >,(«), y, [m), désignant deux fonctions de la quan- 

 tité m, si fon a, pour des valeurs quelconques de la variable x , 



(9) /cos mx.y,{m) dm -4-/sin mx.y.{m) dm^= o , 



i m = o l 

 \ /n == 00 ) 



on en conclura, pour des valeurs positives quelconques de m , 



(10) >.(;/;) = 0, y^[m)=o. 



