NOTES. 171 



Démonstration. Si, dans l'équation (9), on change x en — x, on 

 obtiendra la suivante : 



(11) fcos mx .y ^ [m] dm — T^sin mx .y, {m) dm = o 



De cette dernière réunie à l'équation (9) on tire 

 ' ycos mx .y^[7n] dm = o , 



(•2) 



/"sin mx.y,{m) dm = o 



Supposons maintenant qu'après avoir multiplié la première des for- 

 mules (12) par cos /xxdx, la seconde par sin y-xdx, on intègre les 

 deux membres de chaque formule par rapport à a- entre les limites 

 A=o, A-^ 00. Alors, en ayant égard aux équations (3) de la 

 note VI, on trouvera, pour toutes les valeurs réelles et positives 

 de f/, 



— >, (m) = o , — yS^tA = O ; 



et l'on en conclura, pour toutes les valeurs réelles et positives Aem, 



yjm] =^ o , y^[m) = o ; 



ce qu'il s'agissait de démontrer. 



Des raisonnemens entièrement semblables à ceux qui précèdent 

 serviraient, dans le cas de trois dimensions, à déduire de la for- 

 mule (71) [IL' partie] la valeur de ij donnée par la première des 

 formules {76). 



Revenons maintenant au problème proposé en tête du 4-' para- 

 graphe [II." partie, section il]. Comme, d'après l'énoncé de ce pro- 

 blème, les coefficiens différentiels de la fonction ç sont des quan- 

 tités infiniment petites; dire que les équations (4o) doivent être 

 vérifiées pour des valeurs infiniment petites de y, c'est, lorsqu'on 

 néglige les infiniment petits du second ordre , dire qu'elles doivent 

 être vérifiées dans la supposition y 1= o. Or la première des équa- 

 tions (4o) , se trouvant réduite, par cette supposition, à l'équa- 

 tion (36), ne peut plus servir qu'à déduire de la quantité Q, censée 

 connue , l'ordonnée y de la surface du fluide , et nullement à fixer 

 la valeur de q ou de Q. C'est pour cela que, dans les pages 56 

 et 57, fa seconde des équations (43) ne contribue en rien h la 

 fonnation de l'équation (44)- Ainsi les seules équations qui, 

 d'après l'énoncé du problème, aient dû être et aient été effectivement 



