NOTES. iy3 



assujettie à la double condition de s'évanouir pour y=o, et de ne 

 pas devenir infinie pour des valeurs infinies et négatives de y. De 

 plus, s désignant une fonction linéaire des dérivées de /j , l'équa- 

 tion (13) entraînera la suivante , 



, ^ . d^ s d' s d' i 



>6 — -H— -H — =:o , 



dx dy rfj- 



qui devra être vérifiée pour des valeurs quelconques de y. En inté- 

 grant cette dernière par la méthode du §. 7 [I." partie, section m], 

 et assujettissant la variable j à la seconde des conditions ci-dessus 

 énoncées, on trouvera pour cette variable une expression de la 

 forme 



(17) S =. S JJ cos rn.x .cos n:^.c i[m , n, t) dm an 



I OT ^ o , m = 00 ) 



1 B = o , K = 00 s ' 



L'autre condition, en vertu de laquelle s doit s'évanouir avec y, 

 donnera 



'S.ffcos mx .cos n^.f(;/z, n, f) dmdn = o ; 



et l'on en conclura \\oyei_ les notes XI et xii] que la valeur géné- 

 rale de s se réduit à 



(18) s — o. 



Par conséquent, l'équation (i4) sera vérifiée , quelle que soitj». 



Au reste, l'équation (i4) ne subsiste pour toutes les valeurs pos- 

 sibles de y, qu'autant que la profondeur du fluide est infinie. Si, 

 pour plus de généralité, l'on supposait, comme l'a fait M. Poisson, 

 que le fluide repose sur un plan horizontal représenté par l'équation 



(19) yz=-- — h 



[h désignant une constante positive), alors l'équation (i4) n'aurait 

 plus lieu que pour y = o , l'équation (44) [H.' partie] disparaî- 

 trait, et les formules (48), (54)< (71) et (76) cesseraient de fournir 

 des valeurs exactes des variables q et Q. Mais il est facile de voir 

 comment, dans cette même supposition, les formules dont il s'agit 

 devraient être modifiées. Considérons en efl^et, pour fixer les idées, 

 le cas de deux dimensions. La valeur générale de q, tirée de l'équa- 

 tion (1) par la méthode de la note ix, au lieu de se réduire à celle 

 que fournit l'équation (48) [II. ° partie ], conservera la forme 



