NOTES. 183 



On est ainsi ramené à l'intégrale générale que M. Poisson a ob- 

 tenue pour la seconde des équations (32) , dans un Mémoire sur 

 l'intégration de quelques équations linéaires aux différences partielles. 

 L'auteur a même intégré l'équation linéaire h quatre variables indé- 

 pendantes, qui sert de base ]x la théorie du son; savoir: 



(48) :f=^H^"^"7,^ + jF }• 



J'avais essayé moi-même autrefois d'appliquer à cette dernière les for- 

 mules auxquelles je me trouvais conduit par mes recherches sur la 

 théorie des ondes, et, après avoir déterminé la valeur de Q par une 

 équation entièrement semblable à la seconde des équations (30) , 

 j'avais reconnu qu'on peut réduire le premier terme de cette valeur, 

 dans le cas où l'on supprime une coordonnée, à la forme sous 

 laquelle ce terme se présente dans l'équation (36). Enfin j'avais re- 

 marqué que, dans ce même terme, la double intégrale relative aux 

 variables /u. et V peut être ramenée à une autre intégrale de la forme 



(49) ff cos 2. k fji^V^ . f.in [fj. -^ \l) d fxd\i /* — o , /"— 00 , ^ 



Il ne restait plus qu'à déterminer celle-ci. On y parvient en rempla- 

 çant k par 2 k \^^ , dans la dernière formule de la page 155, ou 

 en différenciant , par rapport à A , les dernières des formules (4i) et 

 (42), desquelles on tire, i ." pour k<i , 



Il I 



(50) // cos 2. kfji.'^ \i^ . sin {fji.-]-\i ) dfjidv : 

 2." pour X> I , 



(51) f/cos zÂ/x- V - .sin (/j.-i-v]dfjLdv = , 



Mais, au lieu d'établir les équations (50) et (51), desquelles on 

 passe facilement à l'équation j44) , je m'étais arrêté devant cette 



considération , que, si l'on développe l'expression cos2kf^^V^, et 

 par suite l'intégrale (50) , en séries ordonnées suivant les puissances 

 ascendantes de k , tous les termes du développement de l'intégrale 

 [voyei les pages 1 34 et i 3 5 ] se réduiront constamment à zéro. Cette 

 circonstance est d'autant plus remarquable , que le développement 

 du cosinus produit une série toujours convergente, et elle fait voir 

 que, dans la solution des problèmes, on ne doit user qu'avec beau- 

 coup de circonspection des développemens en séries. 



