212 NOTES. 



(82) / cos — F{'nt)d'a = — F{(i) sin v , 



lorsque F'\<l) n'est pas nulle ; et 



(83) y]^''cos^FW^-sr = -J JF'(a.)cost>— F'(o)j, 



toutes les fois qu'on suppose F(<i.Jr=o. Cela posé , il est clair que, 

 dans la seconde hypothèse, si la valeur numérique de F' {o) surpasse 

 celle de F' {au) , l'intégrale (26) conservera constamment, pour de 

 très -grandes valeurs de u, le' même signe qui affectera la quantité 

 — F' {o). Donc alors l'équation (27) n'aura pas de racines réelles 

 supérieures à une certaine limite. Par suite , il n'y aura plus que 

 quelques ondes; ou, s'il en existe encore un nombre indéfini, les 

 points les plus bas de ces ondes , du moins de celles qui porteront 

 des numéros élevés , cesseront de se trouver dans le plan horizontal 

 des x,-^, et les ordonnées de ces points deviendront proportion- 

 nelles aux valeurs minima de la fonction U , lesquelles seront déter- 

 minées, avec les valeurs maxima de la même fonction, par la réso- 

 lution de l'équation (29). L'une de ces circonstances aura nécessaire- 

 ment lieu toutes les fois que la portion de courbe représentée par 

 l'équation (20), et terminée au point dont l'abscisse est .v = ot, ren- 

 contrera l'axe des x en ce dernier point, et tournera sa convexité vers 

 le même axe. 



Concevons, pour fixer les idées, que la courbe dont il est ici 

 question, soit une parabole tangente à l'axe des x , et représentée 

 par l'équation 



/ = "*('-t)'- 



On aura , dans ce cas , 



(84) FW = -^(.-^)'; 



F(ce) = 0, F{a\,=0, F"(«)=-^, /r'"(«)=/r"(a)=... = o; 

 r(o)=-, F'"(o)=F'(o)=... = o: 



