NOTES. 217 



Or il est aisé de s'assurer que celle-ci a une infinité de racines réelles 

 et positives. En effet, si l'on prend 



O-^ 



n désignant un nombre entier très-considérable , le premier membre 

 de l'équation (92) deviendra positif ou négatif en mêine temps que 

 son premier terme , suivant que le nombre n sera pair ou impair. 

 Ce premier membre passera donc une infinfte de fois du positif au 

 négatif, et réciproquement ; d'où il résulte que le nombre des valeurs 

 réelles de u , propres k le faire évanouir , est infini. Les valeurs de 

 V dont il est ici question , fourniront les divers ?naxima et minima de 

 la quantité U , auxquels correspondront les points les plus bas et 

 les plus élevés des différentes ondes. On doit remarquer, Ji ce sujet, 

 que, les valeurs minima de U n'étant pas nulles, les points les plus 

 bas seront situés au-dessus du plan horizontal des x , :^, et que leurs 

 ordonnées se déduiront, comme celles des points les plus élevés, de 

 la fol-mule (24). 



Lorsque la constante a s'évanouit, la courbe représentée par l'é- 

 quation (20) se change en une droite. Dans la même hypothèse, les 

 équations (90) et (92) se réduisent aux formules (5 5) et (58), et les 

 points les plus bas des différentes ondes se retrouvent dans le plan 

 horizontal des x , ^, ainsi que nous l'avons déjîi expliqué. 



Lorsque la constante a devient négative, la courbe logarithmique 

 représentée par l'équation (20) tourne sa concavité vers l'axe des x . 

 Alors l'intégrale (y 1 ) est tantôt positive, tantôt négative, et s'évanouit 

 pour ime infinité de valeurs de u. Par suite les points les plus bas 

 des différentes ondes sont encore situés dans le plan horizontal des 

 X , -^i comme dans le cas où l'on avait rt = o. 



Il peut arriver que, dans le second membre de l'équation (81) , 

 tous les termes disparaissent jusqu'à celui qui a pour dénominateur t^". 

 Pour que les deux premiers termes disparaissent , il suffit que l'on ait 

 à-Iafois 



F(ct,) = G , F'(cl) = o, F(o) = o. 



c'est-à-dire, que la courbe représentée par l'équation (20) touche l'axe 

 des X , au point dont l'abscisse est et, et une parallèle à l'axe des x , 

 au point où elle rencontre l'axe des y. C'est ce qui arriverait , par 



I . Savam étrangers. Ee 



