NOTES. 231 



Si l'on appliquait l'intégration par parties aux deux intégrales que 

 renferme l'équation (126), on obtiendrait une formule analogue à la 

 formule (1 30), et qui offrirait encore la valeur de^ exprimée par une 

 série qu'il serait facile d'ordonner suivant les puissances ascendantes 



de -. Observons toutefois que cette nouvelle formule se rapporterait, 



comme les formules (H 1) et (1 30), aux cas où les dérivées de la fonc- 

 tion F(^iu.) conservent des valeurs finies, i . " pour /ui^o, 2.° pour 

 /* = rt:a. S'il en était autrement , on ne pourrait plus se servir des 

 équations (8 I ), (105), (130), &c... pour déterminer les ondes cor- 

 respondantes h des valeurs sensibles ou à de très-grandes valeurs de o. 

 Mais on y parviendrait, en transformant la valeur de y , et la déve- 

 loppant en série h. l'aide des considérations suivantes. 



Si l'on désigne par i{f^) une fonction telle que l'intégrale 



f f{/J.-^v^^/ — i)dy, conserve une valeur finie et déterminée pour 



toutes les valeurs de y, et de y comprises entre les limites /*= — m, 

 lxz=i-\-m, v=zo, v=:<x> , si l'on suppose en outre que l'expression 

 f(fx-\-vJ'Zri) ne varie jamais d'une manière brusque entre ces limites, 

 et s'évanouisse pour v= 00 , il suffira d'intégrer entre les mêmes li- 

 mites les deux membres de l'équation identique 



/— I 



pour en déduire la formule 



f'"i{i^)d,x=z.-^ /''^[ffOT + v/ZT) — f (-,«-+- v/ri)]./v. 



J — w V— I ,"0 



Au contraire, en effectuant les intégrations entre les limites /x = o, 

 (ji.-=^m, i/^o, f^oo, on trouverait 



y^'"f(^)^^= ^L^y^°°[f(/"-+-v/r7)— f(v/zT)]^.. 



Si dans ces dernières formules on remplace f(/«) par F[fj.) .e , 



/" " 



et V par — , on en tirera 

 ' u 



