NOTES. 275 



On fient en conclure que i'équation U=o n'aura pas de racine po- 

 sitive supérieure à celle de la suivante 



■(-^)(:)' = ». 



c'est-îi dire , au nombre 3,35 ... ; et, comme la quantité U est une 

 fonction paire de u, qui ne s'évanouira jamais, tant que la variable u 

 restera inférieure au nombre 4)47. •• {voyei la page 260) , il est clair 

 que, dans l'hypothèse admise, i'équation f/=o n'aura pas de racines 

 réelles. Quant îi la seconde des équations (221] , elle aura, dans fa 

 même hypothèse, une infinité de racines positives, qui se confondront 

 sensiblement, quand la variable u deviendra très-grande, avec les 



racines de l'équation cosfu j i^ o. 



Si, les trois conditions 



(269) f[<L) — o, /'(ct,)=o, /"(ct)=o, 



étant remplies, la quantité f'{o) conservait une valeur différente 

 de zéro, chacune des équations (221) ne pourrait avoir cju'un nombre 

 fini de racines, et par suite il n'y aurait plus que quelques ondes. li 

 en sera de même, toutes les fois que , dans la valeur de U, développée 

 par le moyen de la formule (254) en une série ordonnée suivant les 



puissances ascendantes de - , l'exposant de la plus petite puissance 



fractionnaire de - surpassera l'exposant de la plus petite puissance 



entière, d'une quantité égale ou supérieure à -. 



Lorsque la fonction f(i') est paire, les termes, qui renferment les 



puissances entières de -, disparaissent de la formule (254); et, pour 



de grandes valeurs de v , les équations (221) finissent par se réduire 

 sensiblement , l'une à 



(270) sm(^u ^) =0, 



et l'autre à 



(271) cos (u —j =r o. 



