.2.8o NOTES. 



en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de —, soit à 



l'aide du développement de cos/^, soit à l'aide de l'intégration par 

 parties, on trouvera 



(5) J^ e cosf.d/^=-^li-j^j^-^-j^jy, ^c.J, 



et l'on peut s'assurer qu'efi'ectivenient cette dernière équation donne, 

 pour de grandes valeurs de k, la valeur approchée de l'intégrale (4), 

 pourvu que , dans le second membre , on conserve seulement les 

 premiers termes qui forment une suite décroissante. Si donc la for- 

 mule (3) pouvait subsister, il faudrait qu'on eût, au moins pour de 

 grandes valeurs de la quantité A, 



(6) r ^ cos{2.kfji)'cos/ui. rf/jL^ — r e~'-''''^^' COS/J.J/X. 

 Or, au contraire, on tire de la seconde des formules (11) [note Jll] , 



(7) / °° cos (zkfji.)^ cos/w d/u, = — - — (sin- -+- cos - J 



— / e cos//t dfjL , 



et cette dernière exclut évidemment la formule (6). 



On pourrait objecter, en faveur de l'équation (3) , qu'elle se dé- 

 duit, aussi bien que l'équation (5), de l'intégration par parties. Mais il 

 est essentiel d'observer que cette dernière intégration ne donne les 

 valeurs approchées des intégrales que dans le cas où , après un certain 

 nombre d'intégrations partielles , la valeur de l'intégrale qui repré- 

 sente le reste est fort petit. Or cette circonstance , qui a effective- 

 ment lieu, quand on développe en série l'intégrale (4), ne subsiste 

 plus dans le cas oii il s'agit de l'intégrale (1). On n'a plus même alors 

 aucun moyen de déterminer les limites entre lesquelles le reste se 

 trouve compris. 



Pour confirmer par un calcul numérique l'exactitude de l'équa- 

 tion (7), concevons que l'on attribue à la quantité A la valeur 8,36... 

 qui détermine la première des ondes tracées en creux à la première 

 époque du mouvement. En substituant cette valeur dans les équa- 

 tions (2) et (5), on en tirera 



