NOTES. 283 



dans lesquelles les parties rédies demeurent comprises entre les 

 quantités x„ , X, et les coefficiens de -j/ — i entre les quantités y^, Y. 

 Enfin supposons que ces mêmes racines appartiennent toutes à l'é- 

 quation 



(6) F{x) = o. 



Si l'on intègre par rapport aux deux variables x, y l'équation iden- 

 tique 



(7) V f(^-)-^v^) ) ^ \, f{.+jv-,} I 



et que l'on remplace dans chaque membre l'intégrale relative à v par 

 sa valeur principale [voyez le Résume des leçons données à l'école 

 royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, tome I."], on trou- 

 vera 



rx I f(.v+ }-/=;) _ f(.v + v„v/^) s ^^ 



Ja„ ^ f(A:-(->V^) F(x-hyoV~') I 



f(^,) , f(.vO , , f( 





Il est essentiel d'observer que, dans le second membre de l'équation 

 précédente , chacune des fractions 



(9) ^TT-T 



doit être réduite h moitié, quand elle correspond à une racine dans 

 laquelle la partie réelle se confond avec l'une des quantités x^, X, 

 ou le coefificient de -^^—i avec l'une des quantités y„, Y. 



Lorsque la fraction (5) s'évanouit, i .° pour ,v = ± o& , quel 

 que soit y, 2.° pour y ^ 00 , quel que soit x , alors, en prenant 

 Ar^= — co , X^<x> , _y„^o , F=^oc , on tire de la formule (8) 



roo f(.v) / f(.v,) , f(A-j , , iM.\ /— 



On trouvera en conséquence, pour /"(*)= i -t- x" , 



Nu* 



