288 NOTES. 



(25) cosa= (^~y J^ (cos^=-«- sin/x')cos — ^/* 



^)' I (sin^= — cos/x' ] cos — ^i" 

 + ( V) ' y„ y„ (s.n/x-4-cosM-) cos — ^-^. 



C'est à l'aide de l'équation (25), et avant d'avoir établi les formules 

 de la note VI, que j'ai obtenu pour la première fois les équations (d) 

 et (f ) de la note xvi. Je vais indiquer en peu de mots la route que 

 j'avais suivie pour arriver h ces mêmes équations. 



On a vu, dans la seconde partie du Mémoire [section III, 

 §§.4 et 5 ], que, si l'on désigne par S- la densité du fluide, par y 

 l'ordonnée de la surface qui correspond, au bout du temps /, à l'abs- 

 cisse X, et par F(a) l'ordonnée initiale, on aura, en supposant le 

 fluide réduit à deux dimensions, et les vitesses initiales nulles, 



(27) y =: %J~cos OT.v.cos m z g z r.4 {ni) -m 2. dm , 



pourvu que l'on assujettisse la fonction 4('«) à vérifier l'équation 



(28) F(<7) = — ^ — If cos ma. -\'{m).m'^ dm. 



Si l'on considère en particulier le cas ou F{x) est une fonction paire 

 de la variable x , les équations (27) et (28) deviendront 



I 1 -L ' 



(29 ) >■ = y"cos ;;/ X . cos m z gi / . 4 ('«) . m V dm , 



(30) F{d)z= — ; f cos ma. -^ {m). m'^ dm . 



De plus, si, après avoir posé , dans la formule (25), a=^m'g't, on 



