6o4 RAPPORT. 



qui peut être prise pour )■, il multiplie les deux membres 

 de chaque c(|uation par dxdz; il intègre d'un côté par 

 rapport à x , de l'autre par rapport à z : il obtient ainsi 

 deux équations entre des intégrales définies, les unes 

 relatives à la variable x , les autres relatives à la variable z. 

 Ces équations offrent, en général, un moyen de transfor- 

 mation qui peut conduire à la détermination d'un grand 

 nombre d'intégrales définies. 



Cette méthode est d'autant plus féconde, que les li- 

 mites des intégrales, tant par rapport à x que par rapport 

 àz, peuvent être prises à volonté, et que, dans le cas 

 sur-tout où l'on prend pour limites o et oo , les équations 

 se simplifient et peuvent offrir des résultats élégans. 



L'emploi des imaginaires dans la méthode de M. Cau- 

 chy a l'avantage de fournir à-la-fois deux formules com- 

 posées de fonctions qui ont entre elles les rapports d'ana- 

 logie qu'elles doivent à leur source commune. 



Ces formules se simplifient encore suivant les suppo 

 sitions qui peuvent faire partager chaque équation de 

 condition en deux autres. Ainsi, en prenant pour fonc- 

 tion principale y^=.p cos r , p et r étant des fonctions 

 de .r; substituant ensuite M H- A*" \/ — i au lieu de x , 

 l'équation de condition relative à la différentielle exacte 

 dy se partage en deux autres, à raison des imaginaires, 

 et chacune de celles-ci se partage de nouveau en deux 

 autres, à raison des exponentielles qui naissent du déve- 

 loppement de cosr, et dans lesquelles les termes affectés 

 d'un exposant positif peuvent se séparer des termes 

 affectés d'un exposant négatif On obtient donc alors 

 ([uatre équations de condition , dont chaque membre 

 peut être pris pour v, et qui donnent ainsi quatre écjua- 



