RAPPORT. 605 



lions entre des intégrales définies tirées d'une même 

 soinre. 



Tels sont les principes sur lesquels M. Cauchy a établi 

 les nombreuses formules qui composent la première 

 partie de son Mémoire. Ces formules et les corollaires 

 qu'il en déduit, dans différentes hypothèses sur les limites 

 des intégrales, ont une grande généralité, et les applica- 

 tions que l'auteur en donne fournissent plusieurs résultats 

 intéressans. 



Le reste du Mémoire présente une théorie qui ap- 

 partient presque entièrement à l'auteur, et qui paraît 

 mériter l'attention des géomètres. 



En appliquant ses formules à divers exemples, M. Cau- 

 chy n'a pas tardé à reconnaître que , dans certains cas , 

 ces formules étaient en défaut; c'est-à-dire, qu'on n'ob- 

 tenait pas le même résultat en intégrant d'abord par 

 rapport à x, ensuite par rapport à z, ou en suivant une 

 marche contraire. 



Pour faire voir clairement l'objet de la difficulté, pre- 

 nons pour exemple la différentielle de l'arc dont la tan- 

 gente est — , et soit j^ l'un des membres de l'équation 



de condition à laquelle les coefficiens de cette différen- 

 tielle doivent satisfaire. Si l'on cherche la valeur de l'in- 

 tégrale double ffvdxdz, prise entre les limites o et i , 

 tant pour x que pour z, on trouvera que le résultat est 



- , quand on commence le calcul par l'intégration rela- 

 tive à z , et qu'il est, au contraire, , lorsque les 



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intégrations se font dans l'ordre inverse. 



La différence de ces deux résultats s'explique aisément, 



