éo6 RAPPORT. 



si, au lieu de prendre les intégrales dans les limites dé- 

 signées, on les prend depuis x ^ a. jusqu'à a- =: i , et 

 depuis z^Ç, jusqu'à z = i , ot, et € étant des quantités 

 positives infiniment petites. Alors les deux manières 

 d'évaluer l'intégrale double donnent un seul et même 



résultat, lequel est arc tang - . On voit donc que 



ce résultat peut avoir une infinité de valeurs , suivant le 

 rapport qu'on établit entre les quantités infiniment pe- 

 tites CL et Ç>. 



Lorsqu'on fait - ^ o , ce qui revient à faire la pre- 

 mière intégration par rapport à z, depuis z = o jusqu'à 



2^1, le résultat est - . Lorsqu'au contraire on fait 



4 



" zz: o , ce qui revient à faire la première intégration par 



rapport à x, depuis x^=iO jusqu'à x = i , le résultat est 



- — - ou — - : d'où l'on voit que l'intégrale double, 



dans le premier cas , doit être corrigée de — -, pour 



donner le même résultat qu'on obtient par la seconde 

 manière d'opérer, en prenant d'abord l'intégrale par 

 rapport à x. 



Après avoir reconnu l'existence des anomalies que 

 peut offrir la détermination des intégrales doubles , 

 M. Cauchy a dû rechercher la cause générale qui les 

 produit. Il a trouvé que cette difficulté avait lieu toutes 

 les fois qu'après la première intégration , la fonction 

 sous le signe était indéterminée ou de la forme ^, 

 pour des valeurs de x et de z comprises entre les li- 

 mites de l'intégrale. Il observe à ce sujet que l'indé- 

 termination qui a lieu pour des fonctions de deux 



