Ô I 2 MEMOIRE 



semblabJes considérations, l'auteur ajoule : <■ On peut donc 

 » considérer ces passages comme des moyens de découvertes 

 » semblables à l'induction dont les géomètres font depuis 

 " long-temps usage. Mais ces moyens, quoique employés 

 » avec beaucoup de précaution et de réserve, laissent tou- 

 ■• jours à désirer des démonstrations de leurs résultats. » 

 Pour obvier à cet inconvénient, l'auteur a eu soin de con- 

 firmer par d'autres méthodes les valeurs des intégrales qu'il 

 avait trouvées. Quant à celles d'Euler, M. Poisson a fait 

 voir, dans le Bulleiin de la Société philomathique , n." 42, 

 et dans le Journal de l'école royale polytechnique , tome JX, 

 qu'on pouvait les obtenir, soit par des intégrations doubles, 

 soit par l'intégration d'équations différentielles du second 

 ordre. Après avoir réfîéchi sur cet objet, et rapproché les uns 

 des autres les divers résultats ci-dessus mentionnés, j'aicon^u 

 l'espoir d'établir le passage du réel à l'imaginaire sur une 

 analyse directe et rigoureuse ; et mes recherches m'ont con- 

 duit à la méthode qui fait l'objet de ce Mémoire, et que )c 

 vais exposer en peu de mots. On ne verra peut-être pas sans 

 intérêt comment une des difficultés que ce sujet présente 

 peut non-seulement être éclaircie , mais encore tourner au 

 profit de l'analyse, et se transformer, pour ainsi dire, elle- 

 même en un nouveau moyen d'intégration. 



Lorsque, dans une intégrale simple ou relative à une seule 

 variable/, on remplace cette variable unique par une fonction 

 quelconque de deux autres variables .v et 1, les deux coeffi- 

 ciens différentiels de l'intégrale, pris, l'un par rapport à a-, 

 l'autre par rapport à 2, se trouvent tous deux dégagés du 

 signe d'intégration , et représentent simplement deux nou- 

 velles fonctions de .v et de i- Mais ces deux fonctions ont 

 entre elles une relation qui mérite d'être remarquée : c'est 

 que le coefficient différentiel de la première, pris par rapport 

 à j, est égal au coefficient différentiel de la seconde, pris 



