SUR LES INTÉGRALES DÉFINIES. 613 



par rapport à x. Ce résultat se déduit, à la vérité, de celte 

 seule considération, que, l'intégrale pouvant être censée re- 

 présenter une fonction déterminée de x et de z, sa différen- 

 tielle du second ordre , prise relativement à ces deux variables, 

 doit rester la même , dans quelque ordre que les différencia- 

 tions aient été faites. Mais, si cette preuve ne semble pas assez 

 rigoureuse, on lèvera toute incertitude en vérifiant immédia- 

 tement, par la seule différenciation des deux fonctions que 

 l'on considère, l'égalité de leurs coefficiens différentiels. Cette 

 égalité ou équation subsiste dans le cas même où la fonction 

 de .V et de j, qui remplace la variable ;',est en partie réelle, 

 en partie imaginaire, et se partage alors en deux équations 

 nouvelles , dont chacune peut toujours être vérifiée directe- 

 ment par la seule différenciation. Celles-ci sont encore sem- 

 blables à l'équation qui leur a donné naissance, et peuvent 

 elles-mêmes, dans plusieurs cas , se partager chacujieen deux 

 équations de même forme. Dans toutes ces équations, une 

 fonction de x et de 2 , différenciée par rapport à j et divisée 

 par ^2, se trouve égalée à une autre fonction de x et de j; , 

 différenciée par rapport à x et divisée par </.v. Nous allons 

 maintenant développer les avantages que présentent, dans la 

 théorie des intégrales définies , les équations différentielles 

 dont il s'agit. 



Si, dans une équation de cette forme, on multiplie les 

 deux membres par Jx di, et qu'on se propose ensuite de les 

 intégrer, par rapport à .v et à j, entre des limites détermi- 

 nées de ces deux variables, on obtiendra une équation entre 

 deux intégrales doubles. Mais, comme les deux membres de 

 l'équation donnée, multijiliés, le premier par di, \e second 

 par. ^A" , deviennent des différentielles exactes relativement 

 aux variables 1 et .v, on pourra immédiatement effectuer 

 de part et d'autre une première intégration ; et l'on obtien- 

 dra par suite une équation entre deux espèces d'intégrales 



