SUR LES INTÉGRALES DEFINIES. 615 



tion trouvée croît ou décroît d'une manière continue entre les 

 deux limites dont il s'agit. Mais si , lorsqu'on fait croître la 

 variable par degrés insensibles, la fonction trouvée passe su- 

 bitement d'une valeur à une autre , la variable étant toujours 

 comprise entre les limites de l'intégration , la différence de 

 ces deux valeurs devra être retranchée de l'intégrale définie 

 prise à l'ordinaire, et chacun des sauts brusques que pourra 

 faire la fonction trouvée nécessitera une correction de même 

 nature. On obtient facilement cette règle en considérant l'in- 

 tégrale proposée comme la somme des élémens qui corres- 

 pondent aux diverses valeurs de la variable, et partageant la 

 somme totale en autant de sommes partielles qu'il y a de 

 sauts brusques, plus un, dans la fonction trouvée. 



Les autres difficultés sont relatives aux intégrales doubles 

 dans lesquelles, après une première intégration, la fonction 

 sous le signe f devient, pour certaines valeurs des variables , 

 infinie ou indéterminée. Dans la méthode ci-dessus exposée, 

 le dernier cas est le seul qui se présente; et ce n'est jamais 

 que pour des valeurs déterminées de l'une et l'autre variable, 

 que les fonctions sous le signe / prennent la forme ~. Dans 

 une semblable hypothèse , les intégrales doubles que l'on con- 

 sidère sont entièrement indéterminées ; et lorsqu'on parvient 

 à les intégrer complètement relativement aux deux variables 

 données x çt 1, elles obtiennent en effet deux valeurs diffé- 

 rentes l'une de l'autre, suivant que l'on substitue les valeurs 

 de X avant celles de j, et réciproquement. Q,noi qu'il en soit, 

 parmi le nombre infini de valeurs que peuvent obtenir ces 

 intégrales doubles, il en est deux qu'on doit soigneusement 

 distinguer de toutes les autres, et qui jouissent d'un caractère 

 particulier propre aies faire reconnaître. Mais, avant d'établir 

 cette distinction , il est nécessaire de rappeler en peu de mots 

 les principes sur lesquels repose la détermination des valeurs 

 des fonctions à une ou à plusieurs variables. 



